Номер 2.14, страница 33, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.14. В одной координатной плоскости постройте графики функций и найдите координаты точек их пересечения:

1) $y=-x$ и $x^2 + y^2 = 8;$

2) $y=2x$ и $x^2 + y^2 = 20;$

3) $y=\frac{1}{x}$ и $x^2 + y^2 = 2.$

1) График функции $y = -x$ — это прямая, являющаяся биссектрисой II и IV координатных четвертей. График уравнения $x^2 + y^2 = 8$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:$$ \begin{cases} y = -x \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $$Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$x^2 + (-x)^2 = 8$$x^2 + x^2 = 8$$2x^2 = 8$$x^2 = 4$Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.Найдём соответствующие значения $y$:При $x_1 = 2$, $y_1 = -2$.При $x_2 = -2$, $y_2 = -(-2) = 2$.Таким образом, точки пересечения: $(2, -2)$ и $(-2, 2)$.Ответ: $(-2, 2), (2, -2)$.

2) График функции $y = 2x$ — это прямая, проходящая через начало координат. График уравнения $x^2 + y^2 = 20$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:$$ \begin{cases} y = 2x \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases} $$Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$x^2 + (2x)^2 = 20$$x^2 + 4x^2 = 20$$5x^2 = 20$$x^2 = 4$Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.Найдём соответствующие значения $y$:При $x_1 = 2$, $y_1 = 2(2) = 4$.При $x_2 = -2$, $y_2 = 2(-2) = -4$.Таким образом, точки пересечения: $(2, 4)$ и $(-2, -4)$.Ответ: $(-2, -4), (2, 4)$.

3) График функции $y = \frac{1}{x}$ — это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. График уравнения $x^2 + y^2 = 2$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{2}$.Для нахождения координат точек пересечения решим систему уравнений:$$ \begin{cases} y = \frac{1}{x} \\ x^2 + y^2 = 2 \end{cases} $$Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:$x^2 + (\frac{1}{x})^2 = 2$$x^2 + \frac{1}{x^2} = 2$Умножим обе части на $x^2$ (при $x \ne 0$):$x^4 + 1 = 2x^2$$x^4 - 2x^2 + 1 = 0$Это уравнение является полным квадратом:$(x^2 - 1)^2 = 0$$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1$Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.Найдём соответствующие значения $y$:При $x_1 = 1$, $y_1 = \frac{1}{1} = 1$.При $x_2 = -1$, $y_2 = \frac{1}{-1} = -1$.Таким образом, точки пересечения: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.Ответ: $(-1, -1), (1, 1)$.