Номер 3.6, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.6. Решите способом алгебраического сложения систему уравнений:

1)

$$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ y^2 - x^2 + 3 = 0; \end{cases}$$

2)

$$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 1, \\ 2y^2 - 3x^2 + 1 = 0; \end{cases}$$

3)

$$\begin{cases} 2x^2 + yx = 16, \\ 3x^2 + xy = x + 18; \end{cases}$$

4)

$$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = x - 6, \\ 3y^2 - 2x^2 - 4 = 0. \end{cases}$$

1)Исходная система уравнений:$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ y^2 - x^2 + 3 = 0;\end{cases}$

Приведем второе уравнение к стандартному виду, перенеся свободный член в правую часть:$\begin{cases} 2x^2 + y^2 = 9, \\ y^2 - x^2 = -3;\end{cases}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $y^2$:
$(2x^2 + y^2) - (-x^2 + y^2) = 9 - (-3)$
$2x^2 + y^2 + x^2 - y^2 = 9 + 3$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Подставим найденные значения $x$ во второе преобразованное уравнение ($y^2 = x^2 - 3$) для нахождения соответствующих значений $y$.
1. При $x = 2$:
$y^2 = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1$
$y = \pm 1$. Получаем две пары решений: $(2, 1)$ и $(2, -1)$.
2. При $x = -2$:
$y^2 = (-2)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$
$y = \pm 1$. Получаем еще две пары решений: $(-2, 1)$ и $(-2, -1)$.
Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

2)Исходная система уравнений:$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 1, \\ 2y^2 - 3x^2 + 1 = 0;\end{cases}$

Приведем второе уравнение к стандартному виду и упорядочим переменные:$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 1, \\ -3x^2 + 2y^2 = -1;\end{cases}$

Для использования метода сложения, умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y^2$ стали противоположными:
$2(2x^2 - y^2) = 2(1) \implies 4x^2 - 2y^2 = 2$
Теперь система выглядит так:$\begin{cases} 4x^2 - 2y^2 = 2, \\ -3x^2 + 2y^2 = -1;\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:
$(4x^2 - 2y^2) + (-3x^2 + 2y^2) = 2 + (-1)$
$x^2 = 1$
Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Подставим найденные значения $x$ в первое исходное уравнение ($2x^2 - y^2 = 1 \implies y^2 = 2x^2 - 1$), чтобы найти $y$.
1. При $x = 1$:
$y^2 = 2(1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$
$y = \pm 1$. Получаем решения: $(1, 1)$ и $(1, -1)$.
2. При $x = -1$:
$y^2 = 2(-1)^2 - 1 = 2 - 1 = 1$
$y = \pm 1$. Получаем решения: $(-1, 1)$ и $(-1, -1)$.
Ответ: $(1, 1)$, $(1, -1)$, $(-1, 1)$, $(-1, -1)$.

3)Исходная система уравнений:$\begin{cases} 2x^2 + yx = 16, \\ 3x^2 + xy = x + 18;\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы исключить член $xy$:
$(3x^2 + xy) - (2x^2 + xy) = (x + 18) - 16$
$x^2 = x + 2$
Перенесем все члены в левую часть и решим квадратное уравнение:
$x^2 - x - 2 = 0$
Корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Подставим найденные значения $x$ в первое уравнение ($2x^2 + xy = 16$), чтобы найти $y$. Выразим $y$: $xy = 16 - 2x^2 \implies y = \frac{16 - 2x^2}{x}$.
1. При $x = 2$:
$y = \frac{16 - 2(2^2)}{2} = \frac{16 - 8}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Получаем решение: $(2, 4)$.
2. При $x = -1$:
$y = \frac{16 - 2(-1)^2}{-1} = \frac{16 - 2}{-1} = \frac{14}{-1} = -14$.
Получаем решение: $(-1, -14)$.
Ответ: $(2, 4)$, $(-1, -14)$.

4)Исходная система уравнений:$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = x - 6, \\ 3y^2 - 2x^2 - 4 = 0;\end{cases}$

Приведем второе уравнение к виду, удобному для сложения: $3y^2 - 2x^2 = 4$. Поменяем местами слагаемые для наглядности: $-2x^2 + 3y^2 = 4$.
Система примет вид:$\begin{cases} x^2 - 3y^2 = x - 6, \\ -2x^2 + 3y^2 = 4;\end{cases}$

Сложим два уравнения системы. Коэффициенты при $y^2$ являются противоположными числами, поэтому этот член сократится:
$(x^2 - 3y^2) + (-2x^2 + 3y^2) = (x - 6) + 4$
$-x^2 = x - 2$
$x^2 + x - 2 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Подставим найденные значения $x$ в преобразованное второе уравнение ($3y^2 = 2x^2 + 4$), чтобы найти $y$. Выразим $y^2$: $y^2 = \frac{2x^2 + 4}{3}$.
1. При $x = 1$:
$y^2 = \frac{2(1)^2 + 4}{3} = \frac{2+4}{3} = \frac{6}{3} = 2$
$y = \pm\sqrt{2}$. Получаем решения: $(1, \sqrt{2})$ и $(1, -\sqrt{2})$.
2. При $x = -2$:
$y^2 = \frac{2(-2)^2 + 4}{3} = \frac{2(4)+4}{3} = \frac{8+4}{3} = \frac{12}{3} = 4$
$y = \pm 2$. Получаем решения: $(-2, 2)$ и $(-2, -2)$.
Ответ: $(-2, 2)$, $(-2, -2)$, $(1, \sqrt{2})$, $(1, -\sqrt{2})$.