Номер 3.11, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.11. Найдите целочисленные решения системы уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 + xy = -3, \\ y - 3x = 7; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - xy = -1, \\ y + 4x = 6; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 + xy = 14, \\ y - 3x = -3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 37, \\ y + x = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + xy = -3 \\ y - 3x = 7\end{cases}$
Для нахождения целочисленных решений воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x + 7$
Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + x(3x + 7) = -3$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 + 3x^2 + 7x = -3$
$4x^2 + 7x + 3 = 0$
Мы получили квадратное уравнение относительно $x$. Найдем его корни с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot 3 = 49 - 48 = 1$
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-8}{8} = -1$
$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{-6}{8} = -\frac{3}{4}$
Согласно условию, мы ищем целочисленные решения, поэтому нам подходит только корень $x_1 = -1$.
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -1$ в выражение $y = 3x + 7$:
$y = 3(-1) + 7 = -3 + 7 = 4$
Таким образом, целочисленное решение системы - это пара чисел $(-1, 4)$.
Ответ: $(-1, 4)$.

2) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - xy = -1 \\ y + 4x = 6\end{cases}$
Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 6 - 4x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 - x(6 - 4x) = -1$
$x^2 - 6x + 4x^2 = -1$
$5x^2 - 6x + 1 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 36 - 20 = 16$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 - 4}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
$x_2 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2 \cdot 5} = \frac{6 + 4}{10} = \frac{10}{10} = 1$
Из двух найденных корней только $x_2 = 1$ является целым числом.
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 1$ в выражение $y = 6 - 4x$:
$y = 6 - 4(1) = 2$
Следовательно, целочисленное решение системы - $(1, 2)$.
Ответ: $(1, 2)$.

3) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x^2 + xy = 14 \\ y - 3x = -3\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 3x - 3$
Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$2x^2 + x(3x - 3) = 14$
$2x^2 + 3x^2 - 3x = 14$
$5x^2 - 3x - 14 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-14) = 9 + 280 = 289$
Так как $\sqrt{289}=17$, найдем корни:
$x_1 = \frac{3 - 17}{2 \cdot 5} = \frac{-14}{10} = -1.4$
$x_2 = \frac{3 + 17}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$
Условию о целочисленных решениях удовлетворяет только $x_2 = 2$.
Найдем соответствующее значение $y$ при $x = 2$ из выражения $y = 3x - 3$:
$y = 3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$
Таким образом, целочисленное решение системы: $(2, 3)$.
Ответ: $(2, 3)$.

4) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + 4y^2 = 37 \\ y + x = 4\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:
$y = 4 - x$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + 4(4 - x)^2 = 37$
$x^2 + 4(16 - 8x + x^2) = 37$
$x^2 + 64 - 32x + 4x^2 = 37$
$5x^2 - 32x + 64 - 37 = 0$
$5x^2 - 32x + 27 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-32)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 27 = 1024 - 540 = 484$
Так как $\sqrt{484}=22$, найдем корни:
$x_1 = \frac{32 - 22}{2 \cdot 5} = \frac{10}{10} = 1$
$x_2 = \frac{32 + 22}{2 \cdot 5} = \frac{54}{10} = 5.4$
Из найденных корней целым числом является только $x_1 = 1$.
Найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = 1$ в $y = 4 - x$:
$y = 4 - 1 = 3$
Итак, целочисленное решение системы: $(1, 3)$.
Ответ: $(1, 3)$.