Номер 3.8, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.8. Решите способом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} x + y = 4, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x - y = 2, \\ \frac{10}{x} + \frac{1}{y} = 3; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + y - 12 = 0, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,375; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - y = 4, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -0,8; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x - y = 5, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 0,5x - y = 1, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{1}{3}. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 4, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$: $y = 4 - x$.

Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{4-x} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(4-x)$:

$\frac{(4-x) + x}{x(4-x)} = 1$

$\frac{4}{4x - x^2} = 1$

При условии, что $4x - x^2 \ne 0$, получаем:

$4 = 4x - x^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x + 4 = 0$

Левая часть является полным квадратом разности:

$(x-2)^2 = 0$

Отсюда $x-2 = 0$, следовательно, $x = 2$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=2$ в выражение $y = 4 - x$:

$y = 4 - 2 = 2$.

Полученное решение $(2, 2)$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $(2, 2)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 2, \\ \frac{10}{x} + \frac{1}{y} = 3 \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 2 + y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{10}{2+y} + \frac{1}{y} = 3$

Приведем к общему знаменателю $y(2+y)$:

$\frac{10y + (2+y)}{y(2+y)} = 3$

$\frac{11y + 2}{2y + y^2} = 3$

При условии, что $2y + y^2 \ne 0$, получаем:

$11y + 2 = 3(2y + y^2)$

$11y + 2 = 6y + 3y^2$

$3y^2 - 5y - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$.

$y_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

$y_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = -\frac{1}{3}$, то $x_1 = 2 + (-\frac{1}{3}) = \frac{5}{3}$.

Если $y_2 = 2$, то $x_2 = 2 + 2 = 4$.

Получили два решения, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(\frac{5}{3}, -\frac{1}{3})$, $(4, 2)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y - 12 = 0, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 0,375 \end{cases}$

Преобразуем систему для удобства. $0,375 = \frac{375}{1000} = \frac{3}{8}$.

$\begin{cases} x + y = 12, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{8} \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения: $y = 12 - x$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{12-x} = \frac{3}{8}$

Приведем к общему знаменателю $x(12-x)$:

$\frac{12-x+x}{x(12-x)} = \frac{3}{8}$

$\frac{12}{12x-x^2} = \frac{3}{8}$

Используем свойство пропорции:

$3(12x - x^2) = 12 \cdot 8$

$36x - 3x^2 = 96$

Разделим обе части на 3: $12x - x^2 = 32$.

$x^2 - 12x + 32 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 12$ и $x_1 \cdot x_2 = 32$. Корни: $x_1 = 4$, $x_2 = 8$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 12 - 4 = 8$.

Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 12 - 8 = 4$.

Получили два решения, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, 8)$, $(8, 4)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 4, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -0,8 \end{cases}$

Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $-0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}$.

$\begin{cases} x - y = 4, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{4}{5} \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения: $x = 4 + y$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{4+y} - \frac{1}{y} = -\frac{4}{5}$

$\frac{y - (4+y)}{y(4+y)} = -\frac{4}{5}$

$\frac{-4}{4y+y^2} = -\frac{4}{5}$

Разделим обе части на -4: $\frac{1}{4y+y^2} = \frac{1}{5}$.

Отсюда $4y+y^2 = 5$, или $y^2 + 4y - 5 = 0$.

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = -4$ и $y_1 \cdot y_2 = -5$. Корни: $y_1 = 1$, $y_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 4 + 1 = 5$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = 4 + (-5) = -1$.

Получили два решения, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(5, 1)$, $(-1, -5)$.

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 5, \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения: $x = 5 + y$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{5+y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$

$\frac{y + (5+y)}{y(5+y)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2y+5}{5y+y^2} = \frac{1}{6}$

$6(2y+5) = 5y+y^2$

$12y + 30 = 5y + y^2$

$y^2 - 7y - 30 = 0$

По теореме Виета, $y_1 + y_2 = 7$ и $y_1 \cdot y_2 = -30$. Корни: $y_1 = 10$, $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 10$, то $x_1 = 5 + 10 = 15$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 5 + (-3) = 2$.

Получили два решения, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(15, 10)$, $(2, -3)$.

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 0,5x - y = 1, \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{1}{3} \end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 0,5x - 1$.

Подставим во второе уравнение:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{0,5x - 1} = -\frac{1}{3}$

$\frac{1}{x} - \frac{1}{\frac{x-2}{2}} = -\frac{1}{3}$

$\frac{1}{x} - \frac{2}{x-2} = -\frac{1}{3}$

Приведем к общему знаменателю $x(x-2)$:

$\frac{(x-2) - 2x}{x(x-2)} = -\frac{1}{3}$

$\frac{-x-2}{x^2-2x} = -\frac{1}{3}$

Умножим обе части на -1: $\frac{x+2}{x^2-2x} = \frac{1}{3}$.

$3(x+2) = x^2-2x$

$3x + 6 = x^2 - 2x$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 5$ и $x_1 \cdot x_2 = -6$. Корни: $x_1 = 6$, $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 0,5(6) - 1 = 3 - 1 = 2$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 0,5(-1) - 1 = -0,5 - 1 = -1,5 = -\frac{3}{2}$.

Получили два решения, оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(6, 2)$, $(-1, -1,5)$.