Номер 3.15, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.15. Решите способом алгебраического сложения систему уравнений:

1) $\begin{cases} x^2 - 3xy + 2y^2 = 0; \\ x^2 + y^2 = 20; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + xy - 6y^2 = 0, \\ x^2 - 5xy + 2y^2 + 4 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x^2 - 3xy + y^2 = 0, \\ x^2 - y^2 = -12; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y^2 - 3x^2 - 2xy = 0, \\ y^2 - xy - 4x^2 = 4. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - 3xy + 2y^2 = 0 \\x^2 + y^2 = 20\end{cases}$

Применим метод алгебраического сложения. Вычтем первое уравнение из второго:

$(x^2 + y^2) - (x^2 - 3xy + 2y^2) = 20 - 0$

$x^2 + y^2 - x^2 + 3xy - 2y^2 = 20$

$3xy - y^2 = 20$

Теперь наша система эквивалентна следующей:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 20 \\3xy - y^2 = 20\end{cases}$

Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:

$x^2 + y^2 = 3xy - y^2$

$x^2 - 3xy + 2y^2 = 0$

Мы получили однородное уравнение. Разложим его на множители. Можно рассматривать его как квадратное уравнение относительно $x$. Дискриминант $D = (-3y)^2 - 4(1)(2y^2) = 9y^2 - 8y^2 = y^2$.

Корни: $x = \frac{3y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{3y \pm y}{2}$.

Отсюда получаем два случая:

1. $x = \frac{3y + y}{2} = 2y$

2. $x = \frac{3y - y}{2} = y$

Подставим эти соотношения во второе уравнение исходной системы $x^2 + y^2 = 20$.

Случай 1: $x = 2y$

$(2y)^2 + y^2 = 20$

$4y^2 + y^2 = 20$

$5y^2 = 20 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.

Если $y=2$, то $x = 2(2) = 4$.

Если $y=-2$, то $x = 2(-2) = -4$.

Получаем решения: $(4, 2)$ и $(-4, -2)$.

Случай 2: $x = y$

$y^2 + y^2 = 20$

$2y^2 = 20 \implies y^2 = 10 \implies y = \pm \sqrt{10}$.

Если $y=\sqrt{10}$, то $x = \sqrt{10}$.

Если $y=-\sqrt{10}$, то $x = -\sqrt{10}$.

Получаем решения: $(\sqrt{10}, \sqrt{10})$ и $(-\sqrt{10}, -\sqrt{10})$.

Ответ: $(4, 2)$, $(-4, -2)$, $(\sqrt{10}, \sqrt{10})$, $(-\sqrt{10}, -\sqrt{10})$.

2) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + xy - 6y^2 = 0 \\x^2 - 5xy + 2y^2 + 4 = 0\end{cases}$

Преобразуем второе уравнение к виду $x^2 - 5xy + 2y^2 = -4$.

Вычтем второе уравнение из первого:

$(x^2 + xy - 6y^2) - (x^2 - 5xy + 2y^2) = 0 - (-4)$

$x^2 + xy - 6y^2 - x^2 + 5xy - 2y^2 = 4$

$6xy - 8y^2 = 4$

Разделим обе части на 2:

$3xy - 4y^2 = 2$

Теперь решим систему из первого исходного уравнения и нового полученного:

$\begin{cases}x^2 + xy - 6y^2 = 0 \\3xy - 4y^2 = 2\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $3xy = 2 + 4y^2 \implies x = \frac{2 + 4y^2}{3y}$. (Заметим, что $y \neq 0$, иначе $0=2$).

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(\frac{2 + 4y^2}{3y})^2 + (\frac{2 + 4y^2}{3y})y - 6y^2 = 0$

$\frac{4 + 16y^2 + 16y^4}{9y^2} + \frac{2 + 4y^2}{3} - 6y^2 = 0$

Умножим все уравнение на $9y^2$:

$(4 + 16y^2 + 16y^4) + 3y^2(2 + 4y^2) - 54y^4 = 0$

$4 + 16y^2 + 16y^4 + 6y^2 + 12y^4 - 54y^4 = 0$

$-26y^4 + 22y^2 + 4 = 0$

Разделим на -2: $13y^4 - 11y^2 - 2 = 0$.

Сделаем замену $t = y^2$ ($t \ge 0$): $13t^2 - 11t - 2 = 0$.

$D = (-11)^2 - 4(13)(-2) = 121 + 104 = 225 = 15^2$.

$t = \frac{11 \pm 15}{26}$.

$t_1 = \frac{11+15}{26} = 1$, $t_2 = \frac{11-15}{26} = -\frac{4}{26}$ (не подходит, так как $t \ge 0$).

Итак, $y^2 = 1$, откуда $y = \pm 1$.

Если $y=1$, то $x = \frac{2 + 4(1)^2}{3(1)} = \frac{6}{3} = 2$.

Если $y=-1$, то $x = \frac{2 + 4(-1)^2}{3(-1)} = \frac{6}{-3} = -2$.

Получаем решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

3) Дана система уравнений:

$\begin{cases}2x^2 - 3xy + y^2 = 0 \\x^2 - y^2 = -12\end{cases}$

Сложим два уравнения системы:

$(2x^2 - 3xy + y^2) + (x^2 - y^2) = 0 + (-12)$

$3x^2 - 3xy = -12$

Разделим обе части на 3:

$x^2 - xy = -4$

Теперь решим систему из второго исходного уравнения и нового полученного:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = -12 \\x^2 - xy = -4\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $xy = x^2 + 4$. Если $x \neq 0$, то $y = \frac{x^2+4}{x}$. Если $x=0$, то $0=-4$, что неверно, значит $x \neq 0$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (\frac{x^2+4}{x})^2 = -12$

$x^2 - \frac{x^4 + 8x^2 + 16}{x^2} = -12$

Умножим все уравнение на $x^2$:

$x^4 - (x^4 + 8x^2 + 16) = -12x^2$

$x^4 - x^4 - 8x^2 - 16 = -12x^2$

$-8x^2 - 16 = -12x^2$

$4x^2 = 16$

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.

Если $x=2$, то $y = \frac{2^2+4}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Если $x=-2$, то $y = \frac{(-2)^2+4}{-2} = \frac{8}{-2} = -4$.

Получаем решения: $(2, 4)$ и $(-2, -4)$.

Ответ: $(2, 4)$, $(-2, -4)$.

4) Дана система уравнений:

$\begin{cases}y^2 - 3x^2 - 2xy = 0 \\y^2 - xy - 4x^2 = 4\end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго:

$(y^2 - xy - 4x^2) - (y^2 - 3x^2 - 2xy) = 4 - 0$

$y^2 - xy - 4x^2 - y^2 + 3x^2 + 2xy = 4$

$xy - x^2 = 4$

Получили новое, более простое уравнение. Решим систему, заменив второе уравнение на новое:

$\begin{cases}y^2 - 3x^2 - 2xy = 0 \\xy - x^2 = 4\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $xy = x^2 + 4$. Так как $x=0$ не является решением ($0=4$), то $y = \frac{x^2+4}{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(\frac{x^2+4}{x})^2 - 3x^2 - 2x(\frac{x^2+4}{x}) = 0$

$\frac{(x^2+4)^2}{x^2} - 3x^2 - 2(x^2+4) = 0$

$\frac{x^4 + 8x^2 + 16}{x^2} - 3x^2 - 2x^2 - 8 = 0$

$\frac{x^4 + 8x^2 + 16}{x^2} - 5x^2 - 8 = 0$

Умножим все уравнение на $x^2$:

$x^4 + 8x^2 + 16 - 5x^4 - 8x^2 = 0$

$-4x^4 + 16 = 0$

$4x^4 = 16$

$x^4 = 4$

Так как $x^2$ должно быть неотрицательным, то $x^2 = 2$, откуда $x = \pm \sqrt{2}$.

Если $x = \sqrt{2}$, то $y = \frac{(\sqrt{2})^2+4}{\sqrt{2}} = \frac{2+4}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

Если $x = -\sqrt{2}$, то $y = \frac{(-\sqrt{2})^2+4}{-\sqrt{2}} = \frac{2+4}{-\sqrt{2}} = \frac{6}{-\sqrt{2}} = -3\sqrt{2}$.

Получаем решения: $(\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}, -3\sqrt{2})$.

Ответ: $(\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}, -3\sqrt{2})$.