Номер 3.19, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.19. Найдите решение системы:

1)

$\begin{cases} x^3 + xy^2 = 10, \\ x^3 + x^2y = 5; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ y^6 + x^2y^4 = 80; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ y^4 + x^2y^2 = 90; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x + y^2 = 3, \\ y^4 + x^4 + 6x = 29. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^3 + xy^2 = 10 \\ x^3 + x^2y = 5 \end{cases} $

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:
$x(x^2 + y^2) = 10$
$x^2(x + y) = 5$

Заметим, что $x=0$ не является решением системы. Сделаем подстановку $y = kx$. Подставим это выражение в оба уравнения:
$x(x^2 + (kx)^2) = 10 \implies x^3(1+k^2) = 10$
$x^2(x + kx) = 5 \implies x^3(1+k) = 5$

Разделим первое полученное уравнение на второе (так как $x \ne 0$):
$\frac{x^3(1+k^2)}{x^3(1+k)} = \frac{10}{5} \implies \frac{1+k^2}{1+k} = 2$
$1+k^2 = 2(1+k) \implies 1+k^2 = 2+2k \implies k^2 - 2k - 1 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $k$:
$D = (-2)^2 - 4(1)(-1) = 8$
$k = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

Теперь найдем $x$ и $y$ для каждого значения $k$, используя уравнение $x^3(1+k) = 5$.

Случай 1: $k = 1 + \sqrt{2}$
$x^3(1 + 1+\sqrt{2}) = 5 \implies x^3(2+\sqrt{2}) = 5 \implies x^3 = \frac{5}{2+\sqrt{2}} = \frac{5(2-\sqrt{2})}{2}$
$x = \sqrt[3]{\frac{5(2-\sqrt{2})}{2}}$, тогда $y = kx = (1+\sqrt{2})\sqrt[3]{\frac{5(2-\sqrt{2})}{2}}$.

Случай 2: $k = 1 - \sqrt{2}$
$x^3(1 + 1-\sqrt{2}) = 5 \implies x^3(2-\sqrt{2}) = 5 \implies x^3 = \frac{5}{2-\sqrt{2}} = \frac{5(2+\sqrt{2})}{2}$
$x = \sqrt[3]{\frac{5(2+\sqrt{2})}{2}}$, тогда $y = kx = (1-\sqrt{2})\sqrt[3]{\frac{5(2+\sqrt{2})}{2}}$.

Ответ: $(\sqrt[3]{\frac{5(2-\sqrt{2})}{2}}, (1+\sqrt{2})\sqrt[3]{\frac{5(2-\sqrt{2})}{2}})$; $(\sqrt[3]{\frac{5(2+\sqrt{2})}{2}}, (1-\sqrt{2})\sqrt[3]{\frac{5(2+\sqrt{2})}{2}})$.

2) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5 \\ y^6 + x^2y^4 = 80 \end{cases} $

Во втором уравнении вынесем общий множитель $y^4$ за скобки:
$y^4(y^2 + x^2) = 80$

Из первого уравнения известно, что $x^2 + y^2 = 5$. Подставим это значение во второе уравнение:
$y^4 \cdot 5 = 80$
$y^4 = 16$

Отсюда $y^2 = 4$ (так как $y^2 \ge 0$), что дает $y = 2$ или $y = -2$.

Подставим $y^2 = 4$ в первое уравнение системы, чтобы найти $x$:
$x^2 + 4 = 5 \implies x^2 = 1$
Отсюда $x=1$ или $x=-1$.

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(1, 2)$, $(-1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, -2)$.

3) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ y^4 + x^2y^2 = 90 \end{cases} $

Во втором уравнении вынесем $y^2$ за скобки:
$y^2(y^2 + x^2) = 90$

Из первого уравнения $x^2 + y^2 = 10$. Подставим это во второе уравнение:
$y^2 \cdot 10 = 90$
$y^2 = 9$

Отсюда $y=3$ или $y=-3$.

Подставим $y^2=9$ в первое уравнение:
$x^2 + 9 = 10 \implies x^2 = 1$
Отсюда $x=1$ или $x=-1$.

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(1, 3)$, $(-1, 3)$, $(1, -3)$, $(-1, -3)$.

4) Решим систему уравнений: $ \begin{cases} x + y^2 = 3 \\ y^4 + x^4 + 6x = 29 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y^2$: $y^2 = 3 - x$.
Следовательно, $y^4 = (y^2)^2 = (3-x)^2$. Подставим это во второе уравнение:
$(3-x)^2 + x^4 + 6x = 29$

Раскроем скобки и упростим:
$9 - 6x + x^2 + x^4 + 6x = 29$
$x^4 + x^2 + 9 = 29$
$x^4 + x^2 - 20 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $u = x^2$ ($u \ge 0$):
$u^2 + u - 20 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $u_1 = 4$ и $u_2 = -5$.

Корень $u_2 = -5$ не удовлетворяет условию $u \ge 0$.
Следовательно, $x^2 = 4$, откуда $x=2$ или $x=-2$.

Найдем соответствующие значения $y$ из $y^2 = 3-x$.
Случай 1: $x = 2$.
$y^2 = 3 - 2 = 1 \implies y = \pm 1$. Решения: $(2, 1)$ и $(2, -1)$.
Случай 2: $x = -2$.
$y^2 = 3 - (-2) = 5 \implies y = \pm \sqrt{5}$. Решения: $(-2, \sqrt{5})$ и $(-2, -\sqrt{5})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, \sqrt{5})$, $(-2, -\sqrt{5})$.