Номер 3.23, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.23. Найдите решение системы уравнений:

1)

$\begin{cases} |x|+|y|=6, \\ x^2-y^2=24; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} |x|+|y|=1, \\ x^2+y^2=0.5; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} |x|+|y|=3, \\ x^2+y^2=5. \end{cases}$

1) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} |x| + |y| = 6, \\ x^2 - y^2 = 24; \end{cases} $

Заметим, что $x^2 = |x|^2$ и $y^2 = |y|^2$. Поэтому второе уравнение системы можно переписать в виде $|x|^2 - |y|^2 = 24$.

Введем новые переменные: $a = |x|$ и $b = |y|$. Поскольку $a$ и $b$ являются модулями, они неотрицательны: $a \ge 0, b \ge 0$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 6, \\ a^2 - b^2 = 24. \end{cases} $

Используем формулу разности квадратов для второго уравнения: $(a-b)(a+b) = 24$.

Подставим значение $a+b=6$ из первого уравнения:

$(a-b) \cdot 6 = 24$

$a-b = \frac{24}{6}$

$a-b = 4$

Теперь мы имеем простую систему линейных уравнений для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a + b = 6, \\ a - b = 4. \end{cases} $

Сложив два уравнения, получим:

$(a+b) + (a-b) = 6 + 4$

$2a = 10 \implies a = 5$

Подставим найденное значение $a=5$ в первое уравнение $a+b=6$:

$5 + b = 6 \implies b = 1$

Итак, $a=5$ и $b=1$. Вернемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$|x| = 5 \implies x = \pm 5$

$|y| = 1 \implies y = \pm 1$

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(5, 1)$, $(5, -1)$, $(-5, 1)$, $(-5, -1)$.

2) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} |x| + |y| = 1, \\ x^2 + y^2 = 0,5; \end{cases} $

Как и в предыдущем случае, используем замену $a = |x|$ и $b = |y|$ ($a \ge 0, b \ge 0$) и свойство $x^2=|x|^2$. Система преобразуется к виду:

$ \begin{cases} a + b = 1, \\ a^2 + b^2 = 0,5. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b = 1 - a$ и подставим во второе:

$a^2 + (1-a)^2 = 0,5$

$a^2 + 1 - 2a + a^2 = 0,5$

$2a^2 - 2a + 0,5 = 0$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами:

$4a^2 - 4a + 1 = 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(2a - 1)^2 = 0$

Отсюда следует, что $2a - 1 = 0$, то есть $a = 0,5$.

Найдем $b$:

$b = 1 - a = 1 - 0,5 = 0,5$.

Итак, $a=0,5$ и $b=0,5$. Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$|x| = 0,5 \implies x = \pm 0,5$

$|y| = 0,5 \implies y = \pm 0,5$

Таким образом, получаем четыре решения.

Ответ: $(0,5; 0,5)$, $(0,5; -0,5)$, $(-0,5; 0,5)$, $(-0,5; -0,5)$.

3) Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} |x| + |y| = 3, \\ x^2 + y^2 = 5. \end{cases} $

Снова введем замену $a = |x|$ и $b = |y|$ ($a \ge 0, b \ge 0$). Система примет вид:

$ \begin{cases} a + b = 3, \\ a^2 + b^2 = 5. \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b = 3 - a$ и подставим во второе уравнение:

$a^2 + (3-a)^2 = 5$

$a^2 + 9 - 6a + a^2 = 5$

$2a^2 - 6a + 4 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$a^2 - 3a + 2 = 0$

Это квадратное уравнение, корни которого легко найти (например, по теореме Виета). Сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Следовательно, корни $a_1=1$ и $a_2=2$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: $a = 1$.

Тогда $b = 3 - a = 3 - 1 = 2$.

Получаем $|x| = 1$ и $|y| = 2$. Отсюда $x = \pm 1$ и $y = \pm 2$. Это дает четыре решения: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$.

Случай 2: $a = 2$.

Тогда $b = 3 - a = 3 - 2 = 1$.

Получаем $|x| = 2$ и $|y| = 1$. Отсюда $x = \pm 2$ и $y = \pm 1$. Это дает еще четыре решения: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем всего восемь пар решений.

Ответ: $(1, 2)$, $(1, -2)$, $(-1, 2)$, $(-1, -2)$, $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.