Номер 3.16, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.16. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x^2 + 3xy = 54, \\ 4y^2 + xy = 115; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + 2y^2 = 17, \\ x^2 - 2xy = -3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 - xy + 3x + 7y = y^2 - 3, \\ 2y^2 + xy = x^2; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} y^2 - 3xy = 2, \\ y^2 - 4xy + x^2 = 3; \end{cases}$

5)

$\begin{cases} 2x^2 - 3xy = 3 - y^2, \\ x^2 - 2y^2 + 2xy = 6; \end{cases}$

6)

$\begin{cases} 3x^2 + xy - 2x = 5 - y, \\ 2x^2 - 3x - xy = 5 + y; \end{cases}$

7)

$\begin{cases} x^2 - 3y + x = 2 - y^2, \\ x^2 + y^2 - 5x = 2 + y; \end{cases}$

8)

$\begin{cases} x^2 + x + y = 18 - y^2, \\ x^2 + y^2 + xy = 12; \end{cases}$

9)

$\begin{cases} 3x^2 - 2xy = 35 - 5y^2, \\ x^2 - 2y^2 = 1. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 + 3xy = 54 \\ 4y^2 + xy = 115 \end{cases} $Это система однородных уравнений. Умножим первое уравнение на 115, а второе на 54, чтобы избавиться от свободных членов:$ 115(x^2 + 3xy) = 54(4y^2 + xy) $$ 115x^2 + 345xy = 216y^2 + 54xy $$ 115x^2 + 291xy - 216y^2 = 0 $Предположим, что $y \neq 0$, и разделим уравнение на $y^2$:$ 115(\frac{x}{y})^2 + 291(\frac{x}{y}) - 216 = 0 $Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$:$ 115t^2 + 291t - 216 = 0 $Найдем дискриминант: $D = 291^2 - 4 \cdot 115 \cdot (-216) = 84681 + 99360 = 184041 = 429^2$.$ t_{1,2} = \frac{-291 \pm 429}{230} $$ t_1 = \frac{138}{230} = \frac{3}{5} $$ t_2 = \frac{-720}{230} = -\frac{72}{23} $Рассмотрим два случая:1. $\frac{x}{y} = \frac{3}{5} \implies x = \frac{3}{5}y$. Подставим в первое уравнение системы:$ (\frac{3}{5}y)^2 + 3(\frac{3}{5}y)y = 54 $$ \frac{9}{25}y^2 + \frac{9}{5}y^2 = 54 \implies \frac{9y^2 + 45y^2}{25} = 54 \implies \frac{54y^2}{25} = 54 \implies y^2 = 25 $.Отсюда $y_1 = 5, y_2 = -5$.Если $y_1 = 5$, то $x_1 = \frac{3}{5} \cdot 5 = 3$.Если $y_2 = -5$, то $x_2 = \frac{3}{5} \cdot (-5) = -3$.Получаем решения $(3, 5)$ и $(-3, -5)$.2. $\frac{x}{y} = -\frac{72}{23} \implies x = -\frac{72}{23}y$. Подставим в первое уравнение:$ (-\frac{72}{23}y)^2 + 3(-\frac{72}{23}y)y = 54 $$ \frac{5184}{529}y^2 - \frac{216}{23}y^2 = 54 \implies \frac{5184y^2 - 4968y^2}{529} = 54 \implies \frac{216y^2}{529} = 54 \implies y^2 = \frac{54 \cdot 529}{216} = \frac{529}{4} $.Отсюда $y_3 = \frac{23}{2}, y_4 = -\frac{23}{2}$.Если $y_3 = \frac{23}{2}$, то $x_3 = -\frac{72}{23} \cdot \frac{23}{2} = -36$.Если $y_4 = -\frac{23}{2}$, то $x_4 = -\frac{72}{23} \cdot (-\frac{23}{2}) = 36$.Получаем решения $(-36, \frac{23}{2})$ и $(36, -\frac{23}{2})$.Если $y=0$, то из первого уравнения $x^2=54$, а из второго $0=115$, что невозможно.

Ответ: $(3, 5)$, $(-3, -5)$, $(-36, \frac{23}{2})$, $(36, -\frac{23}{2})$.

2)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 + 2y^2 = 17 \\ x^2 - 2xy = -3 \end{cases} $Вычтем второе уравнение из первого:$ (x^2 + 2y^2) - (x^2 - 2xy) = 17 - (-3) $$ 2y^2 + 2xy = 20 \implies y^2 + xy = 10 $.Из этого уравнения выразим $x$ (при $y \neq 0$): $x = \frac{10 - y^2}{y}$.Подставим это выражение в первое уравнение системы:$ (\frac{10-y^2}{y})^2 + 2y^2 = 17 $$ \frac{100 - 20y^2 + y^4}{y^2} + 2y^2 = 17 $$ 100 - 20y^2 + y^4 + 2y^4 = 17y^2 $$ 3y^4 - 37y^2 + 100 = 0 $Сделаем замену $z = y^2$ ($z \ge 0$):$ 3z^2 - 37z + 100 = 0 $$ D = (-37)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 100 = 1369 - 1200 = 169 = 13^2 $.$ z_{1,2} = \frac{37 \pm 13}{6} $$ z_1 = \frac{50}{6} = \frac{25}{3} $, $ z_2 = \frac{24}{6} = 4 $.Возвращаемся к $y$:1. $y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.Если $y = 2$, то $x = \frac{10 - 4}{2} = 3$. Решение $(3, 2)$.Если $y = -2$, то $x = \frac{10 - 4}{-2} = -3$. Решение $(-3, -2)$.2. $y^2 = \frac{25}{3} \implies y = \pm \frac{5}{\sqrt{3}} = \pm \frac{5\sqrt{3}}{3}$.Если $y = \frac{5\sqrt{3}}{3}$, то $x = \frac{10 - 25/3}{5/\sqrt{3}} = \frac{5/3}{5/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Решение $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5\sqrt{3}}{3})$.Если $y = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$, то $x = \frac{10 - 25/3}{-5/\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$. Решение $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{5\sqrt{3}}{3})$.Случай $y=0$ приводит к противоречию ($x^2=17$ и $x^2=-3$).

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$, $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{5\sqrt{3}}{3})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{5\sqrt{3}}{3})$.

3)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 - xy + 3x + 7y = y^2 - 3 \\ 2y^2 + xy = x^2 \end{cases} $Перепишем систему в виде:$ \begin{cases} x^2 - y^2 - xy + 3x + 7y + 3 = 0 \\ x^2 - xy - 2y^2 = 0 \end{cases} $Второе уравнение является однородным. Решим его. Предположим, что $y \neq 0$, и разделим на $y^2$:$ (\frac{x}{y})^2 - (\frac{x}{y}) - 2 = 0 $Пусть $t = \frac{x}{y}$, тогда $t^2 - t - 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.1. $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$. Подставим в первое преобразованное уравнение:$ (2y)^2 - y^2 - (2y)y + 3(2y) + 7y + 3 = 0 $$ 4y^2 - y^2 - 2y^2 + 6y + 7y + 3 = 0 $$ y^2 + 13y + 3 = 0 $$ D = 13^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 169 - 12 = 157 $.$ y = \frac{-13 \pm \sqrt{157}}{2} $.Соответствующие значения $x = 2y$: $x = -13 \pm \sqrt{157}$.Получаем два решения: $(-13 + \sqrt{157}, \frac{-13 + \sqrt{157}}{2})$ и $(-13 - \sqrt{157}, \frac{-13 - \sqrt{157}}{2})$.2. $\frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$. Подставим в первое преобразованное уравнение:$ (-y)^2 - y^2 - (-y)y + 3(-y) + 7y + 3 = 0 $$ y^2 - y^2 + y^2 - 3y + 7y + 3 = 0 $$ y^2 + 4y + 3 = 0 \implies (y+1)(y+3) = 0 $.$y_3 = -1, y_4 = -3$.Если $y_3 = -1$, то $x_3 = -(-1) = 1$. Решение $(1, -1)$.Если $y_4 = -3$, то $x_4 = -(-3) = 3$. Решение $(3, -3)$.Случай $y=0$ приводит к $x=0$, что не удовлетворяет первому уравнению ($0=-3$).

Ответ: $(1, -1)$, $(3, -3)$, $(-13 + \sqrt{157}, \frac{-13 + \sqrt{157}}{2})$, $(-13 - \sqrt{157}, \frac{-13 - \sqrt{157}}{2})$.

4)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} y^2 - 3xy = 2 \\ y^2 - 4xy + x^2 = 3 \end{cases} $Умножим первое уравнение на 3, второе на 2, и вычтем второе из первого, чтобы получить однородное уравнение:$ 3(y^2 - 3xy) - 2(y^2 - 4xy + x^2) = 3 \cdot 2 - 2 \cdot 3 $$ 3y^2 - 9xy - 2y^2 + 8xy - 2x^2 = 0 $$ y^2 - xy - 2x^2 = 0 $Предположим, что $x \neq 0$, и разделим на $x^2$:$ (\frac{y}{x})^2 - (\frac{y}{x}) - 2 = 0 $Пусть $t = \frac{y}{x}$, тогда $t^2 - t - 2 = 0$. Корни $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.1. $\frac{y}{x} = 2 \implies y = 2x$. Подставим в первое уравнение системы:$ (2x)^2 - 3x(2x) = 2 \implies 4x^2 - 6x^2 = 2 \implies -2x^2 = 2 \implies x^2 = -1 $. Действительных решений нет.2. $\frac{y}{x} = -1 \implies y = -x$. Подставим в первое уравнение:$ (-x)^2 - 3x(-x) = 2 \implies x^2 + 3x^2 = 2 \implies 4x^2 = 2 \implies x^2 = \frac{1}{2} $.Отсюда $x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.Если $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Если $x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, то $y = \frac{\sqrt{2}}{2}$.Случай $x=0$ приводит к противоречию ($y^2=2$ и $y^2=3$).

Ответ: $(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

5)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} 2x^2 - 3xy = 3 - y^2 \\ x^2 - 2y^2 + 2xy = 6 \end{cases} $Перепишем систему:$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 - 3xy = 3 \\ x^2 - 2y^2 + 2xy = 6 \end{cases} $Умножим первое уравнение на 2:$ 4x^2 + 2y^2 - 6xy = 6 $Теперь приравняем левые части полученного уравнения и второго уравнения исходной системы:$ 4x^2 + 2y^2 - 6xy = x^2 - 2y^2 + 2xy $$ 3x^2 - 8xy + 4y^2 = 0 $Предположим, что $y \neq 0$, и разделим на $y^2$:$ 3(\frac{x}{y})^2 - 8(\frac{x}{y}) + 4 = 0 $Пусть $t = \frac{x}{y}$. $3t^2 - 8t + 4 = 0$.$ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 = 4^2 $.$ t_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{6} $. $ t_1 = 2 $, $ t_2 = \frac{2}{3} $.1. $\frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$. Подставим в уравнение $x^2 - 2y^2 + 2xy = 6$:$ (2y)^2 - 2y^2 + 2(2y)y = 6 \implies 4y^2 - 2y^2 + 4y^2 = 6 \implies 6y^2 = 6 \implies y^2 = 1 $.$y = \pm 1$.Если $y = 1$, то $x = 2$. Решение $(2, 1)$.Если $y = -1$, то $x = -2$. Решение $(-2, -1)$.2. $\frac{x}{y} = \frac{2}{3} \implies x = \frac{2}{3}y$. Подставим в то же уравнение:$ (\frac{2}{3}y)^2 - 2y^2 + 2(\frac{2}{3}y)y = 6 \implies \frac{4}{9}y^2 - 2y^2 + \frac{4}{3}y^2 = 6 $.$ 4y^2 - 18y^2 + 12y^2 = 54 \implies -2y^2 = 54 \implies y^2 = -27 $. Действительных решений нет.Случай $y=0$ приводит к $x=0$, что не удовлетворяет системе ($0=3$ и $0=6$).

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$.

6)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} 3x^2 + xy - 2x = 5 - y \\ 2x^2 - 3x - xy = 5 + y \end{cases} $Сложим два уравнения системы:$ (3x^2 + xy - 2x) + (2x^2 - 3x - xy) = (5 - y) + (5 + y) $$ 5x^2 - 5x = 10 $$ x^2 - x - 2 = 0 $$ (x-2)(x+1) = 0 $Это означает, что решения могут существовать только при $x=2$ или $x=-1$.1. Пусть $x=2$. Подставим в первое уравнение исходной системы:$ 3(2^2) + 2y - 2(2) = 5 - y $$ 12 + 2y - 4 = 5 - y $$ 8 + 2y = 5 - y \implies 3y = -3 \implies y = -1 $.Получили решение $(2, -1)$. Проверим его по второму уравнению:$ 2(2^2) - 3(2) - (2)(-1) = 5 + (-1) \implies 8 - 6 + 2 = 4 \implies 4=4 $. Верно.2. Пусть $x=-1$. Подставим в первое уравнение исходной системы:$ 3(-1)^2 + (-1)y - 2(-1) = 5 - y $$ 3 - y + 2 = 5 - y $$ 5 - y = 5 - y \implies 5 = 5 $.Это тождество, верное для любого $y$. Проверим второе уравнение при $x=-1$:$ 2(-1)^2 - 3(-1) - (-1)y = 5 + y $$ 2 + 3 + y = 5 + y $$ 5 + y = 5 + y \implies 5 = 5 $.Это также тождество. Значит, решением является любая пара чисел $(-1, y)$, где $y$ - любое действительное число.

Ответ: $(2, -1)$, а также все точки прямой $x=-1$, то есть $(-1, c)$ для любого $c \in \mathbb{R}$.

7)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 - 3y + x = 2 - y^2 \\ x^2 + y^2 - 5x = 2 + y \end{cases} $Перепишем систему, перенеся все члены в левую часть:$ \begin{cases} x^2 + y^2 + x - 3y - 2 = 0 \\ x^2 + y^2 - 5x - y - 2 = 0 \end{cases} $Вычтем второе уравнение из первого:$ (x^2 + y^2 + x - 3y - 2) - (x^2 + y^2 - 5x - y - 2) = 0 $$ (x - (-5x)) + (-3y - (-y)) = 0 $$ 6x - 2y = 0 \implies y = 3x $.Подставим $y=3x$ в любое из исходных уравнений, например во второе:$ x^2 + (3x)^2 - 5x = 2 + 3x $$ x^2 + 9x^2 - 5x = 2 + 3x $$ 10x^2 - 8x - 2 = 0 $$ 5x^2 - 4x - 1 = 0 $Решим квадратное уравнение. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.$ x_{1,2} = \frac{4 \pm 6}{10} $.$ x_1 = \frac{10}{10} = 1 $.$ x_2 = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5} $.Найдем соответствующие значения $y$:Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 3 \cdot 1 = 3$. Решение $(1, 3)$.Если $x_2 = -\frac{1}{5}$, то $y_2 = 3 \cdot (-\frac{1}{5}) = -\frac{3}{5}$. Решение $(-\frac{1}{5}, -\frac{3}{5})$.

Ответ: $(1, 3)$, $(-\frac{1}{5}, -\frac{3}{5})$.

8)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^2 + x + y = 18 - y^2 \\ x^2 + y^2 + xy = 12 \end{cases} $Перепишем первое уравнение: $x^2 + y^2 + x + y = 18$.Система имеет вид:$ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 18 \\ x^2 + y^2 + xy = 12 \end{cases} $Введем замены $u = x+y$ и $v = xy$. Тогда $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2 - 2v$.Система в новых переменных:$ \begin{cases} (u^2 - 2v) + u = 18 \\ (u^2 - 2v) + v = 12 \end{cases} \implies \begin{cases} u^2 + u - 2v = 18 \\ u^2 - v = 12 \end{cases} $Из второго уравнения $v = u^2 - 12$. Подставим в первое:$ u^2 + u - 2(u^2 - 12) = 18 $$ u^2 + u - 2u^2 + 24 = 18 $$ -u^2 + u + 6 = 0 \implies u^2 - u - 6 = 0 $.$ (u-3)(u+2) = 0 $. Отсюда $u_1=3, u_2=-2$.1. $u=3$. Тогда $v = 3^2 - 12 = 9 - 12 = -3$.Возвращаемся к $x, y$: $\begin{cases} x+y=3 \\ xy=-3 \end{cases}$.$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t - 3 = 0$.$D = (-3)^2 - 4(1)(-3) = 9+12=21$. $t = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}$.Решения: $(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, \frac{3-\sqrt{21}}{2})$ и $(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, \frac{3+\sqrt{21}}{2})$.2. $u=-2$. Тогда $v = (-2)^2 - 12 = 4 - 12 = -8$.Возвращаемся к $x, y$: $\begin{cases} x+y=-2 \\ xy=-8 \end{cases}$.$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 + 2t - 8 = 0$, или $(t+4)(t-2)=0$.Корни $t_1=2, t_2=-4$.Решения: $(2, -4)$ и $(-4, 2)$.

Ответ: $(2, -4)$, $(-4, 2)$, $(\frac{3+\sqrt{21}}{2}, \frac{3-\sqrt{21}}{2})$, $(\frac{3-\sqrt{21}}{2}, \frac{3+\sqrt{21}}{2})$.

9)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy = 35 - 5y^2 \\ x^2 - 2y^2 = 1 \end{cases} $Перепишем первое уравнение: $3x^2 - 2xy + 5y^2 = 35$.Система:$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy + 5y^2 = 35 \\ x^2 - 2y^2 = 1 \end{cases} $Умножим второе уравнение на 35: $35x^2 - 70y^2 = 35$.Приравняем левые части первого уравнения и полученного:$ 3x^2 - 2xy + 5y^2 = 35x^2 - 70y^2 $$ 32x^2 + 2xy - 75y^2 = 0 $Предположим, $y \neq 0$, и разделим на $y^2$: $32(\frac{x}{y})^2 + 2(\frac{x}{y}) - 75 = 0$.Пусть $t=\frac{x}{y}$. $32t^2+2t-75=0$.$D = 2^2 - 4 \cdot 32 \cdot (-75) = 4 + 9600 = 9604 = 98^2$.$t = \frac{-2 \pm 98}{64}$. $t_1 = \frac{96}{64} = \frac{3}{2}$, $t_2 = \frac{-100}{64} = -\frac{25}{16}$.1. $\frac{x}{y} = \frac{3}{2} \implies x=\frac{3}{2}y$. Подставим в $x^2-2y^2=1$:$ (\frac{3}{2}y)^2 - 2y^2 = 1 \implies \frac{9}{4}y^2 - 2y^2 = 1 \implies \frac{1}{4}y^2=1 \implies y^2=4$.$y = \pm 2$.Если $y=2$, $x=3$. Решение $(3,2)$.Если $y=-2$, $x=-3$. Решение $(-3,-2)$.2. $\frac{x}{y} = -\frac{25}{16} \implies x = -\frac{25}{16}y$. Подставим в $x^2-2y^2=1$:$ (-\frac{25}{16}y)^2 - 2y^2 = 1 \implies \frac{625}{256}y^2 - 2y^2 = 1 \implies \frac{625-512}{256}y^2 = 1 \implies \frac{113}{256}y^2 = 1$.$y^2 = \frac{256}{113} \implies y = \pm \frac{16}{\sqrt{113}}$.Если $y=\frac{16}{\sqrt{113}}$, $x = -\frac{25}{16} \cdot \frac{16}{\sqrt{113}} = -\frac{25}{\sqrt{113}}$.Если $y=-\frac{16}{\sqrt{113}}$, $x = \frac{25}{\sqrt{113}}$.Случай $y=0$ приводит к $x^2=1$, но $3(\pm 1)^2 = 3 \neq 35$.

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$, $(-\frac{25\sqrt{113}}{113}, \frac{16\sqrt{113}}{113})$, $(\frac{25\sqrt{113}}{113}, -\frac{16\sqrt{113}}{113})$.