Номер 3.20, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 3. Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными. Глава I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Часть 1 - номер 3.20, страница 39.

Условие рус.

3.20. Решите способом подстановки и способом сложения систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ xy^2 + x^2y = -2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^3 - y^3 = 65, \\ xy^2 - x^2y = 20; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^3 - y^3 = 65, \\ xy^2 - x^2y = 20; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - xy = 2, \\ y^2 - xy = -1. \end{cases} $

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1) Способ сложения:
Исходная система:$\begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ xy^2 + x^2y = -2\end{cases}$
Преобразуем второе уравнение, вынеся общий множитель: $xy(x+y) = -2$.
Умножим второе уравнение на $3$: $3xy^2 + 3x^2y = -6$.
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(x^3 + y^3) + (3x^2y + 3xy^2) = 7 + (-6)$
$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 = 1$
Левая часть является развернутой формулой куба суммы: $(x+y)^3$.
Получаем уравнение $(x+y)^3 = 1$, откуда следует, что $x+y=1$.
Выразим $y$ через $x$: $y = 1 - x$.
Подставим это выражение во второе исходное уравнение $xy(x+y) = -2$ (зная, что $x+y=1$):
$x(1-x)(1) = -2$
$x - x^2 = -2$
$x^2 - x - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета или через дискриминант. Корни: $x_1 = 2$, $x_2 = -1$.
Находим соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 1 - 2 = -1$.
Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 1 - (-1) = 2$.
Таким образом, получаем две пары решений.

Способ подстановки:
Преобразуем уравнения, используя формулу суммы кубов и вынесение общего множителя:
$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) = 7$
$xy^2 + x^2y = xy(x+y) = -2$
Сделаем замену переменных. Пусть $u = x+y$ и $v = xy$.
Выразим $x^2+y^2$ через $u$ и $v$: $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = u^2-2v$.
Подставим в первое уравнение: $u(u^2-2v-v) = 7$, то есть $u(u^2-3v) = 7$.
Второе уравнение примет вид $uv = -2$.
Получили систему для $u$ и $v$:$\begin{cases} u(u^2 - 3v) = 7, \\ uv = -2\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $v = -2/u$ (при $u \ne 0$) и подставим в первое:
$u(u^2 - 3(-2/u)) = 7$
$u(u^2 + 6/u) = 7$
$u^3 + 6 = 7$
$u^3 = 1$, откуда $u=1$.
Тогда $v = -2/1 = -2$.
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:
$x+y = u = 1$
$xy = v = -2$
По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, то есть $t^2 - t - 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.
Следовательно, решения системы: $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.
Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.

2) и 3)
Способ сложения:
Исходная система:$\begin{cases} x^3 - y^3 = 65, \\ xy^2 - x^2y = 20\end{cases}$
Преобразуем второе уравнение: $xy(y-x) = 20$, или $-xy(x-y) = 20$.
Умножим второе уравнение на $3$: $3xy^2 - 3x^2y = 60$.
Сложим полученное уравнение с первым уравнением системы:
$(x^3 - y^3) + (3xy^2 - 3x^2y) = 65 + 60$
$x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3 = 125$
Левая часть является формулой куба разности: $(x-y)^3$.
Получаем уравнение $(x-y)^3 = 125$, откуда $x-y = 5$.
Выразим $x$ через $y$: $x = y + 5$.
Подставим это выражение во второе исходное уравнение $xy(y-x) = 20$ (зная, что $y-x = -(x-y) = -5$):
$(y+5)y(-5) = 20$
$(y^2+5y)(-5)=20$
$-5y^2-25y=20$
$5y^2+25y+20=0$
$y^2 + 5y + 4 = 0$
Корни уравнения: $y_1 = -1$, $y_2 = -4$.
Находим соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = -1$, то $x_1 = -1 + 5 = 4$.
Если $y_2 = -4$, то $x_2 = -4 + 5 = 1$.
Решения: $(4, -1)$ и $(1, -4)$.

Способ подстановки:
Преобразуем уравнения:
$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) = 65$
$xy^2 - x^2y = -xy(x-y) = 20$
Сделаем замену переменных. Пусть $u = x-y$ и $v = xy$.
Выразим $x^2+y^2$: $x^2+y^2 = (x-y)^2 + 2xy = u^2+2v$.
Подставим в первое уравнение: $u(u^2+2v+v) = 65$, то есть $u(u^2+3v) = 65$.
Второе уравнение примет вид $-uv = 20$ или $uv = -20$.
Получили систему для $u$ и $v$:$\begin{cases} u(u^2 + 3v) = 65, \\ uv = -20\end{cases}$
Из второго уравнения $v = -20/u$. Подставим в первое:
$u(u^2 + 3(-20/u)) = 65$
$u(u^2 - 60/u) = 65$
$u^3 - 60 = 65$
$u^3 = 125$, откуда $u=5$.
Тогда $v = -20/5 = -4$.
Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:
$x-y = u = 5$
$xy = v = -4$
Из первого уравнения $x = y+5$. Подставим во второе: $(y+5)y=-4$.
$y^2 + 5y + 4 = 0$.
Корни: $y_1=-1$, $y_2=-4$.
Соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = -1$, $x_1 = 4$.
Если $y_2 = -4$, $x_2 = 1$.
Решения: $(4, -1)$ и $(1, -4)$.
Ответ: $(4, -1), (1, -4)$.

4) Способ сложения:
Исходная система:$\begin{cases} x^2 - xy = 2, \\ y^2 - xy = -1\end{cases}$
Сложим два уравнения системы:
$(x^2 - xy) + (y^2 - xy) = 2 + (-1)$
$x^2 - 2xy + y^2 = 1$
Левая часть является полным квадратом разности: $(x-y)^2$.
Получаем уравнение $(x-y)^2 = 1$, откуда следуют два случая: $x-y = 1$ или $x-y = -1$.
Рассмотрим каждый случай отдельно, используя преобразованное первое уравнение $x(x-y)=2$.
Случай 1: $x-y = 1$.
Подставляем в $x(x-y)=2$: $x(1) = 2$, откуда $x=2$.
Находим $y$: $y = x - 1 = 2 - 1 = 1$.
Получаем решение $(2, 1)$.
Случай 2: $x-y = -1$.
Подставляем в $x(x-y)=2$: $x(-1) = 2$, откуда $x=-2$.
Находим $y$: $y = x + 1 = -2 + 1 = -1$.
Получаем решение $(-2, -1)$.

Способ подстановки:
Вынесем общие множители в каждом уравнении:
$\begin{cases} x(x - y) = 2 \\ y(y - x) = -1\end{cases}$
Преобразуем второе уравнение: $y(-(x-y)) = -1$, что эквивалентно $y(x-y) = 1$.
Теперь система выглядит так:
$\begin{cases} x(x - y) = 2 \\ y(x - y) = 1\end{cases}$
Разделим первое уравнение на второе (предполагая, что $y \ne 0$ и $x-y \ne 0$):
$\frac{x(x-y)}{y(x-y)} = \frac{2}{1}$
$\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$.
Теперь подставим $x=2y$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое: $x^2 - xy = 2$.
$(2y)^2 - (2y)y = 2$
$4y^2 - 2y^2 = 2$
$2y^2 = 2$
$y^2 = 1$, откуда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.
Находим соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2(1) = 2$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2(-1) = -2$.
Решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.
Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.