Номер 3.26, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.26. Решите систему уравнений способом почленного умножения и деления уравнений системы:

1)

$x^5 y^7 = 32,$

$x^7 y^5 = 128;$

2)

$x^8 y^6 = 64,$

$x^6 y^8 = 256;$

3)

$x^2 y^3 = 16,$

$x^3 y^2 = 2;$

4)

$(y + x) \cdot xy = 6,$

$(y - x) \cdot xy = -2;$

5)

$(x - y) \cdot (x + 2y) - 4 = 0,$

$(x + y) \cdot (x + 2y) - 12 = 0;$

6)

$(y - 1) \cdot x = 2,$

$(y - 1) \cdot xy^2 = 8;$

7)

$(y + 1) \cdot x = 6,$

$(y + 1) \cdot xy^2 = 24;$

8)

$(y - 1) \cdot x = 0,$

$(y - 1) \cdot xy^2 = 0;$

9)

$(y^2 - 1) \cdot x = 9,$

$(y^2 - 1) \cdot xy = 18.$

1)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^5 y^7 = 32 \\x^7 y^5 = 128\end{cases}$Перемножим уравнения системы почленно:$(x^5 y^7) \cdot (x^7 y^5) = 32 \cdot 128$$x^{12} y^{12} = 2^5 \cdot 2^7$$(xy)^{12} = 2^{12}$Отсюда $xy = 2$ или $xy = -2$.

Теперь разделим второе уравнение на первое почленно (поскольку правые части не равны нулю, $x \neq 0, y \neq 0$):$\frac{x^7 y^5}{x^5 y^7} = \frac{128}{32}$$x^2 y^{-2} = 4$$(\frac{x}{y})^2 = 4$Отсюда $\frac{x}{y} = 2$ или $\frac{x}{y} = -2$, то есть $x = 2y$ или $x = -2y$.

Рассмотрим четыре возможных случая:
1. $\begin{cases} xy = 2 \\ x = 2y \end{cases}$. Подставляя второе в первое, получаем $(2y)y = 2 \Rightarrow 2y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = 1$. Значит, $y=1$ (и $x=2$) или $y=-1$ (и $x=-2$). Получаем решения $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.
2. $\begin{cases} xy = 2 \\ x = -2y \end{cases}$. Подставляя, получаем $(-2y)y = 2 \Rightarrow -2y^2 = 2 \Rightarrow y^2 = -1$. Действительных решений нет.
3. $\begin{cases} xy = -2 \\ x = 2y \end{cases}$. Подставляя, получаем $(2y)y = -2 \Rightarrow 2y^2 = -2 \Rightarrow y^2 = -1$. Действительных решений нет.
4. $\begin{cases} xy = -2 \\ x = -2y \end{cases}$. Подставляя, получаем $(-2y)y = -2 \Rightarrow -2y^2 = -2 \Rightarrow y^2 = 1$. Значит, $y=1$ (и $x=-2$) или $y=-1$ (и $x=2$). Проверим пару $(-2, 1)$ в исходной системе: $(-2)^5 \cdot 1^7 = -32 \neq 32$. Эта пара не является решением. Проверим пару $(2, -1)$: $2^5 \cdot (-1)^7 = -32 \neq 32$. Эта пара тоже не является решением.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^8 y^6 = 64 \\x^6 y^8 = 256\end{cases}$Перемножим уравнения системы почленно:$(x^8 y^6) \cdot (x^6 y^8) = 64 \cdot 256$$x^{14} y^{14} = 2^6 \cdot 2^8$$(xy)^{14} = 2^{14}$Отсюда $xy = 2$ или $xy = -2$.

Разделим второе уравнение на первое почленно:$\frac{x^6 y^8}{x^8 y^6} = \frac{256}{64}$$x^{-2} y^{2} = 4$$(\frac{y}{x})^2 = 4$Отсюда $\frac{y}{x} = 2$ или $\frac{y}{x} = -2$, то есть $y = 2x$ или $y = -2x$.

Рассмотрим четыре возможных случая:
1. $\begin{cases} xy = 2 \\ y = 2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(2x) = 2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2=1$. Значит, $x=1$ (и $y=2$) или $x=-1$ (и $y=-2$). Получаем решения $(1, 2)$ и $(-1, -2)$.
2. $\begin{cases} xy = 2 \\ y = -2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(-2x) = 2 \Rightarrow -2x^2=2 \Rightarrow x^2 = -1$. Действительных решений нет.
3. $\begin{cases} xy = -2 \\ y = 2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(2x) = -2 \Rightarrow 2x^2=-2 \Rightarrow x^2 = -1$. Действительных решений нет.
4. $\begin{cases} xy = -2 \\ y = -2x \end{cases}$. Подставляя, получаем $x(-2x) = -2 \Rightarrow -2x^2=-2 \Rightarrow x^2 = 1$. Значит, $x=1$ (и $y=-2$) или $x=-1$ (и $y=2$). Получаем решения $(1, -2)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $(1, 2), (-1, -2), (1, -2), (-1, 2)$.

3)Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 y^3 = 16 \\x^3 y^2 = 2\end{cases}$Поскольку $x^3 y^2 = 2 > 0$ и $y^2 \ge 0$, то $x^3$ должен быть положительным, значит $x>0$. Поскольку $x^2 y^3 = 16 > 0$ и $x^2 > 0$, то $y^3$ должен быть положительным, значит $y>0$.Перемножим уравнения системы почленно:$(x^2 y^3) \cdot (x^3 y^2) = 16 \cdot 2$$x^5 y^5 = 32$$(xy)^5 = 2^5$Отсюда $xy = 2$.

Разделим первое уравнение на второе почленно:$\frac{x^2 y^3}{x^3 y^2} = \frac{16}{2}$$x^{-1} y = 8$$\frac{y}{x} = 8 \Rightarrow y=8x$.

Решим систему:$\begin{cases} xy = 2 \\ y = 8x \end{cases}$.Подставим второе уравнение в первое:$x(8x) = 2 \Rightarrow 8x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = \frac{1}{4}$.Так как $x>0$, то $x = \frac{1}{2}$.Тогда $y = 8x = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, 4)$.

4)Дана система уравнений:$\begin{cases}(y+x) \cdot xy = 6 \\(y-x) \cdot xy = -2\end{cases}$Заметим, что $xy \neq 0$, иначе правые части уравнений были бы равны нулю. Разделим первое уравнение на второе почленно:$\frac{(y+x)xy}{(y-x)xy} = \frac{6}{-2}$$\frac{y+x}{y-x} = -3$$y+x = -3(y-x)$$y+x = -3y+3x$$4y = 2x$$x = 2y$.

Подставим $x = 2y$ в первое уравнение исходной системы:$(y+2y) \cdot (2y)y = 6$$3y \cdot 2y^2 = 6$$6y^3 = 6$$y^3 = 1 \Rightarrow y=1$.Тогда $x = 2y = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: $(2, 1)$.

5)Дана система уравнений:$\begin{cases}(x-y)(x+2y) = 4 \\(x+y)(x+2y) = 12\end{cases}$Заметим, что $x+2y \neq 0$, иначе правые части уравнений были бы равны нулю. Разделим второе уравнение на первое почленно:$\frac{(x+y)(x+2y)}{(x-y)(x+2y)} = \frac{12}{4}$$\frac{x+y}{x-y} = 3$$x+y = 3(x-y)$$x+y = 3x-3y$$4y = 2x$$x = 2y$.

Подставим $x = 2y$ в первое уравнение исходной системы:$(2y-y)(2y+2y) = 4$$y \cdot 4y = 4$$4y^2 = 4$$y^2 = 1 \Rightarrow y = 1$ или $y = -1$.

Если $y=1$, то $x=2y=2$.Если $y=-1$, то $x=2y=-2$.Получаем два решения.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

6)Дана система уравнений:$\begin{cases}(y-1)x = 2 \\(y-1)xy^2 = 8\end{cases}$Из первого уравнения следует, что $(y-1)x \neq 0$, значит $y \neq 1$ и $x \neq 0$. Разделим второе уравнение на первое почленно:$\frac{(y-1)xy^2}{(y-1)x} = \frac{8}{2}$$y^2 = 4$$y = 2$ или $y = -2$.

Рассмотрим два случая:
1. Если $y=2$, подставим в первое уравнение: $(2-1)x=2 \Rightarrow 1 \cdot x = 2 \Rightarrow x=2$. Получаем решение $(2, 2)$.
2. Если $y=-2$, подставим в первое уравнение: $(-2-1)x=2 \Rightarrow -3x = 2 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}$. Получаем решение $(-\frac{2}{3}, -2)$.

Ответ: $(2, 2), (-\frac{2}{3}, -2)$.

7)Дана система уравнений:$\begin{cases}(y+1)x = 6 \\(y+1)xy^2 = 24\end{cases}$Из первого уравнения следует, что $(y+1)x \neq 0$, значит $y \neq -1$ и $x \neq 0$. Разделим второе уравнение на первое почленно:$\frac{(y+1)xy^2}{(y+1)x} = \frac{24}{6}$$y^2 = 4$$y = 2$ или $y = -2$.

Рассмотрим два случая:
1. Если $y=2$, подставим в первое уравнение: $(2+1)x=6 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x=2$. Получаем решение $(2, 2)$.
2. Если $y=-2$, подставим в первое уравнение: $(-2+1)x=6 \Rightarrow -x = 6 \Rightarrow x=-6$. Получаем решение $(-6, -2)$.

Ответ: $(2, 2), (-6, -2)$.

8)Дана система уравнений:$\begin{cases}(y-1)x = 0 \\(y-1)xy^2 = 0\end{cases}$Рассмотрим первое уравнение: $(y-1)x=0$. Оно обращается в верное равенство, если $x=0$ или $y-1=0$, т.е. $y=1$.

Случай 1: $y=1$.Подставим это значение во второе уравнение системы:$(1-1) \cdot x \cdot 1^2 = 0$$0 \cdot x \cdot 1 = 0$$0 = 0$.Это верное равенство для любого значения $x$. Следовательно, все пары вида $(x, 1)$, где $x$ - любое действительное число, являются решениями системы.

Случай 2: $x=0$.Подставим это значение во второе уравнение системы:$(y-1) \cdot 0 \cdot y^2 = 0$$0 = 0$.Это верное равенство для любого значения $y$. Следовательно, все пары вида $(0, y)$, где $y$ - любое действительное число, являются решениями системы.

Объединяя оба случая, получаем, что решениями системы являются все точки, лежащие на прямой $x=0$ (ось OY) или на прямой $y=1$.

Ответ: все пары чисел $(x,y)$, для которых выполняется хотя бы одно из условий: $x=0$ или $y=1$.

9)Дана система уравнений:$\begin{cases}(y^2-1)x = 9 \\(y^2-1)xy = 18\end{cases}$Из первого уравнения следует, что $(y^2-1)x \neq 0$, значит $y^2 \neq 1$ (т.е. $y \neq \pm 1$) и $x \neq 0$. Разделим второе уравнение на первое почленно:$\frac{(y^2-1)xy}{(y^2-1)x} = \frac{18}{9}$$y = 2$.

Подставим значение $y=2$ в первое уравнение системы:$(2^2-1)x = 9$$(4-1)x = 9$$3x = 9$$x = 3$.

Ответ: $(3, 2)$.