Номер 3.32, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.32. Решите способом введения новой переменной систему уравнений:

1) $\begin{cases} (u + v)^2 - 5(u + v) + 4 = 0, \\ (u - v)^2 - (u - v) - 2 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} (u + v)^2 - 4(u + v) - 45 = 0, \\ (u - v)^2 - 2(u - v) - 3 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} u + uv + v = 5, \\ u^2 + uv + v^2 = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} u - uv + v = 1, \\ u^2 + 2u + 2v + v^2 = 11. \end{cases}$

1) Исходная система:

$ \begin{cases} (u+v)^2 - 5(u+v) + 4 = 0 \\ (u-v)^2 - (u-v) - 2 = 0 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = u+v$ и $b = u-v$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} a^2 - 5a + 4 = 0 \\ b^2 - b - 2 = 0 \end{cases} $

Решим каждое уравнение отдельно. Первое уравнение $a^2 - 5a + 4 = 0$ является квадратным. По теореме Виета, его корни $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$.

Второе уравнение $b^2 - b - 2 = 0$ также является квадратным. По теореме Виета, его корни $b_1 = 2$ и $b_2 = -1$.

Теперь рассмотрим все возможные комбинации значений $a$ и $b$ и выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 1, b = 2$.
$ \begin{cases} u+v = 1 \\ u-v = 2 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 3$, откуда $u = 1.5$. Подставив $u$ в первое уравнение, получим $1.5 + v = 1$, откуда $v = -0.5$. Решение: $(1.5; -0.5)$.

Случай 2: $a = 1, b = -1$.
$ \begin{cases} u+v = 1 \\ u-v = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 0$, откуда $u = 0$. Подставив $u$ в первое уравнение, получим $0 + v = 1$, откуда $v = 1$. Решение: $(0; 1)$.

Случай 3: $a = 4, b = 2$.
$ \begin{cases} u+v = 4 \\ u-v = 2 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 6$, откуда $u = 3$. Подставив $u$ в первое уравнение, получим $3 + v = 4$, откуда $v = 1$. Решение: $(3; 1)$.

Случай 4: $a = 4, b = -1$.
$ \begin{cases} u+v = 4 \\ u-v = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 3$, откуда $u = 1.5$. Подставив $u$ в первое уравнение, получим $1.5 + v = 4$, откуда $v = 2.5$. Решение: $(1.5; 2.5)$.

Ответ: $(1.5; -0.5)$, $(0; 1)$, $(3; 1)$, $(1.5; 2.5)$.

2) Исходная система:

$ \begin{cases} (u+v)^2 - 4(u+v) - 45 = 0 \\ (u-v)^2 - 2(u-v) - 3 = 0 \end{cases} $

Введем новые переменные. Пусть $a = u+v$ и $b = u-v$. Система примет вид:

$ \begin{cases} a^2 - 4a - 45 = 0 \\ b^2 - 2b - 3 = 0 \end{cases} $

Решим первое квадратное уравнение $a^2 - 4a - 45 = 0$. По теореме Виета, его корни $a_1 = 9$ и $a_2 = -5$.

Решим второе квадратное уравнение $b^2 - 2b - 3 = 0$. По теореме Виета, его корни $b_1 = 3$ и $b_2 = -1$.

Рассмотрим все возможные комбинации $a$ и $b$ и выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 9, b = 3$.
$ \begin{cases} u+v = 9 \\ u-v = 3 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 12$, откуда $u = 6$. Подставив $u$, получим $6 + v = 9$, откуда $v = 3$. Решение: $(6; 3)$.

Случай 2: $a = 9, b = -1$.
$ \begin{cases} u+v = 9 \\ u-v = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = 8$, откуда $u = 4$. Подставив $u$, получим $4 + v = 9$, откуда $v = 5$. Решение: $(4; 5)$.

Случай 3: $a = -5, b = 3$.
$ \begin{cases} u+v = -5 \\ u-v = 3 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = -2$, откуда $u = -1$. Подставив $u$, получим $-1 + v = -5$, откуда $v = -4$. Решение: $(-1; -4)$.

Случай 4: $a = -5, b = -1$.
$ \begin{cases} u+v = -5 \\ u-v = -1 \end{cases} $
Сложив уравнения, получим $2u = -6$, откуда $u = -3$. Подставив $u$, получим $-3 + v = -5$, откуда $v = -2$. Решение: $(-3; -2)$.

Ответ: $(6; 3)$, $(4; 5)$, $(-1; -4)$, $(-3; -2)$.

3) Исходная система:

$ \begin{cases} u + uv + v = 5 \\ u^2 + uv + v^2 = 7 \end{cases} $

Введем новые переменные, используя симметричные многочлены. Пусть $a = u+v$ и $b = uv$.

Перепишем первое уравнение через новые переменные: $(u+v) + uv = 5$, что дает $a + b = 5$.

Преобразуем второе уравнение. Мы знаем, что $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = a^2 - 2b$. Тогда второе уравнение $u^2+v^2+uv=7$ примет вид $(a^2-2b)+b=7$, то есть $a^2 - b = 7$.

Получили систему уравнений для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a + b = 5 \\ a^2 - b = 7 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $b = 5 - a$ и подставим во второе: $a^2 - (5 - a) = 7$, что приводит к квадратному уравнению $a^2 + a - 12 = 0$.

Корни этого уравнения: $a_1 = 3$ и $a_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $b$:
Если $a_1 = 3$, то $b_1 = 5 - 3 = 2$.
Если $a_2 = -4$, то $b_2 = 5 - (-4) = 9$.

Теперь вернемся к исходным переменным $u$ и $v$.

Случай 1: $a = 3, b = 2$.
$ \begin{cases} u+v = 3 \\ uv = 2 \end{cases} $
По теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни этого уравнения $t_1 = 1, t_2 = 2$. Таким образом, получаем две пары решений: $(1; 2)$ и $(2; 1)$.

Случай 2: $a = -4, b = 9$.
$ \begin{cases} u+v = -4 \\ uv = 9 \end{cases} $
Составим квадратное уравнение $t^2 - (-4)t + 9 = 0$, то есть $t^2 + 4t + 9 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 16 - 36 = -20$. Так как $D < 0$, в этом случае действительных решений нет.

Ответ: $(1; 2), (2; 1)$.

4) Исходная система:

$ \begin{cases} u - uv + v = 1 \\ u^2 + 2u + 2v + v^2 = 11 \end{cases} $

Как и в предыдущем задании, введем переменные $a = u+v$ и $b = uv$.

Первое уравнение: $(u+v) - uv = 1$, что дает $a - b = 1$.

Второе уравнение: $u^2+v^2 + 2(u+v) = 11$. Заменяя $u^2+v^2$ на $a^2-2b$, получаем $(a^2-2b) + 2a = 11$.

Получили систему для $a$ и $b$:

$ \begin{cases} a - b = 1 \\ a^2 + 2a - 2b = 11 \end{cases} $

Из первого уравнения $b = a - 1$. Подставим во второе: $a^2 + 2a - 2(a - 1) = 11$.
$a^2 + 2a - 2a + 2 = 11$
$a^2 = 9$, откуда $a_1 = 3, a_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $b$:
Если $a_1 = 3$, то $b_1 = 3 - 1 = 2$.
Если $a_2 = -3$, то $b_2 = -3 - 1 = -4$.

Выполним обратную замену.

Случай 1: $a = 3, b = 2$.
$ \begin{cases} u+v = 3 \\ uv = 2 \end{cases} $
$u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = 2$. Решения: $(1; 2)$ и $(2; 1)$.

Случай 2: $a = -3, b = -4$.
$ \begin{cases} u+v = -3 \\ uv = -4 \end{cases} $
$u$ и $v$ являются корнями уравнения $t^2 - (-3)t - 4 = 0$, то есть $t^2 + 3t - 4 = 0$. Корни: $t_1 = 1, t_2 = -4$. Решения: $(1; -4)$ и $(-4; 1)$.

Ответ: $(1; 2), (2; 1), (1; -4), (-4; 1)$.