Номер 3.35, страница 42, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.35. 1)

$\begin{cases} \frac{5}{x^2 + xy} + \frac{4}{xy + y^2} = \frac{13}{6}, \\ \frac{8}{x^2 + xy} - \frac{1}{xy + y^2} = 1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{2}{x^2 + 3xy} + \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{25}{14}, \\ \frac{3}{x^2 + 3xy} - \frac{2}{y^2 - xy} = -\frac{4}{7}; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{3}{2x - y} + \frac{2}{x + y} = \frac{4}{x}, \\ x^2 + 2y^2 = 72; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{y^2}{x^2 - xy} + \frac{x^2}{y^2 - xy} = 1, \\ x^3 - y^3 = 2. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{5}{x^2 + xy} + \frac{4}{xy + y^2} = \frac{13}{6} \\\frac{8}{x^2 + xy} - \frac{1}{xy + y^2} = 1\end{cases}$$

Разложим знаменатели на множители: $x^2 + xy = x(x+y)$ и $xy + y^2 = y(x+y)$. Область допустимых значений: $x \neq 0$, $y \neq 0$, $x+y \neq 0$.

Система примет вид:

$$\begin{cases}\frac{5}{x(x+y)} + \frac{4}{y(x+y)} = \frac{13}{6} \\\frac{8}{x(x+y)} - \frac{1}{y(x+y)} = 1\end{cases}$$

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x(x+y)}$ и $v = \frac{1}{y(x+y)}$. Система преобразуется в линейную систему относительно $u$ и $v$:

$$\begin{cases}5u + 4v = \frac{13}{6} \\8u - v = 1\end{cases}$$

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 8u - 1$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$5u + 4(8u - 1) = \frac{13}{6}$

$5u + 32u - 4 = \frac{13}{6}$

$37u = 4 + \frac{13}{6} = \frac{24+13}{6} = \frac{37}{6}$

$u = \frac{1}{6}$

Теперь найдем $v$:

$v = 8u - 1 = 8(\frac{1}{6}) - 1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$

Вернемся к исходным переменным:

$u = \frac{1}{x(x+y)} = \frac{1}{6} \implies x(x+y) = 6$

$v = \frac{1}{y(x+y)} = \frac{1}{3} \implies y(x+y) = 3$

Получили новую систему:

$$\begin{cases}x(x+y) = 6 \\y(x+y) = 3\end{cases}$$

Поскольку $y(x+y) = 3 \neq 0$, мы можем разделить первое уравнение на второе:

$\frac{x(x+y)}{y(x+y)} = \frac{6}{3} \implies \frac{x}{y} = 2 \implies x = 2y$

Подставим $x=2y$ во второе уравнение системы:

$y(2y+y) = 3$

$y(3y) = 3$

$3y^2 = 3 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$

Если $y=1$, то $x = 2(1) = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.

Если $y=-1$, то $x = 2(-1) = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{2}{x^2 + 3xy} + \frac{3}{y^2 - xy} = \frac{25}{14} \\\frac{3}{x^2 + 3xy} - \frac{2}{y^2 - xy} = -\frac{4}{7}\end{cases}$$

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{x^2 + 3xy}$ и $v = \frac{1}{y^2 - xy}$.

Система примет вид:

$$\begin{cases}2u + 3v = \frac{25}{14} \\3u - 2v = -\frac{4}{7}\end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3, чтобы исключить $v$:

$$\begin{cases}4u + 6v = \frac{50}{14} = \frac{25}{7} \\9u - 6v = -\frac{12}{7}\end{cases}$$

Сложим уравнения:

$13u = \frac{25}{7} - \frac{12}{7} = \frac{13}{7} \implies u = \frac{1}{7}$

Подставим $u = \frac{1}{7}$ в уравнение $3u - 2v = -\frac{4}{7}$:

$3(\frac{1}{7}) - 2v = -\frac{4}{7}$

$\frac{3}{7} - 2v = -\frac{4}{7}$

$-2v = -\frac{4}{7} - \frac{3}{7} = -1 \implies v = \frac{1}{2}$

Возвращаемся к переменным $x$ и $y$:

$u = \frac{1}{x^2 + 3xy} = \frac{1}{7} \implies x^2 + 3xy = 7$

$v = \frac{1}{y^2 - xy} = \frac{1}{2} \implies y^2 - xy = 2$

Получили систему:

$$\begin{cases}x^2 + 3xy = 7 \\y^2 - xy = 2\end{cases}$$

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 7, чтобы избавиться от свободных членов:

$2(x^2 + 3xy) = 14$

$7(y^2 - xy) = 14$

Приравняем левые части: $2(x^2 + 3xy) = 7(y^2 - xy)$

$2x^2 + 6xy = 7y^2 - 7xy$

$2x^2 + 13xy - 7y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $y^2$ (случай $y=0$ не является решением, т.к. из второго уравнения $y^2-xy=2$ следовало бы $0=2$).

$2(\frac{x}{y})^2 + 13(\frac{x}{y}) - 7 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$. Решим квадратное уравнение $2t^2 + 13t - 7 = 0$:

$D = 13^2 - 4(2)(-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$

$t = \frac{-13 \pm 15}{4}$

$t_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$, $t_2 = \frac{-28}{4} = -7$.

Рассмотрим два случая:

1) $\frac{x}{y} = \frac{1}{2} \implies y = 2x$. Подставим в $y^2 - xy = 2$:

$(2x)^2 - x(2x) = 2 \implies 4x^2 - 2x^2 = 2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Если $x=1$, то $y=2$. Решение $(1, 2)$.

Если $x=-1$, то $y=-2$. Решение $(-1, -2)$.

2) $\frac{x}{y} = -7 \implies x = -7y$. Подставим в $y^2 - xy = 2$:

$y^2 - (-7y)y = 2 \implies y^2 + 7y^2 = 2 \implies 8y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{1}{4} \implies y = \pm \frac{1}{2}$.

Если $y=\frac{1}{2}$, то $x = -7(\frac{1}{2}) = -\frac{7}{2}$. Решение $(-\frac{7}{2}, \frac{1}{2})$.

Если $y=-\frac{1}{2}$, то $x = -7(-\frac{1}{2}) = \frac{7}{2}$. Решение $(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$.

Ответ: $(1, 2), (-1, -2), (-\frac{7}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$.

3)

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{3}{2x - y} + \frac{2}{x + y} = \frac{4}{x} \\x^2 + 2y^2 = 72\end{cases}$$

ОДЗ: $x \neq 0, 2x - y \neq 0, x + y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение, приведя все дроби к общему знаменателю:

$\frac{3}{2x-y} + \frac{2}{x+y} - \frac{4}{x} = 0$

$\frac{3x(x+y) + 2x(2x-y) - 4(2x-y)(x+y)}{x(2x-y)(x+y)} = 0$

Числитель должен быть равен нулю:

$3x^2 + 3xy + 4x^2 - 2xy - 4(2x^2 + 2xy - xy - y^2) = 0$

$7x^2 + xy - 4(2x^2 + xy - y^2) = 0$

$7x^2 + xy - 8x^2 - 4xy + 4y^2 = 0$

$-x^2 - 3xy + 4y^2 = 0$

$x^2 + 3xy - 4y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим на $y^2$ (случай $y=0$ приводит к $x=0$, что противоречит ОДЗ).

$(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) - 4 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$. Уравнение $t^2 + 3t - 4 = 0$ по теореме Виета имеет корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -4$.

Рассмотрим два случая:

1) $\frac{x}{y} = 1 \implies x = y$. Подставим во второе уравнение системы $x^2 + 2y^2 = 72$:

$y^2 + 2y^2 = 72 \implies 3y^2 = 72 \implies y^2 = 24 \implies y = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$.

Если $y=2\sqrt{6}$, то $x=2\sqrt{6}$. Решение $(2\sqrt{6}, 2\sqrt{6})$.

Если $y=-2\sqrt{6}$, то $x=-2\sqrt{6}$. Решение $(-2\sqrt{6}, -2\sqrt{6})$.

2) $\frac{x}{y} = -4 \implies x = -4y$. Подставим в $x^2 + 2y^2 = 72$:

$(-4y)^2 + 2y^2 = 72 \implies 16y^2 + 2y^2 = 72 \implies 18y^2 = 72 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2$.

Если $y=2$, то $x = -4(2) = -8$. Решение $(-8, 2)$.

Если $y=-2$, то $x = -4(-2) = 8$. Решение $(8, -2)$.

Все четыре пары чисел удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2\sqrt{6}, 2\sqrt{6}), (-2\sqrt{6}, -2\sqrt{6}), (-8, 2), (8, -2)$.

4)

Исходная система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{y^2}{x^2 - xy} + \frac{x^2}{y^2 - xy} = 1 \\x^3 - y^3 = 2\end{cases}$$

ОДЗ: $x^2 - xy = x(x-y) \neq 0$ и $y^2 - xy = y(y-x) \neq 0$. Отсюда $x \neq 0, y \neq 0, x \neq y$.

Преобразуем первое уравнение:

$\frac{y^2}{x(x - y)} + \frac{x^2}{-y(x - y)} = 1$

$\frac{y^2}{x(x - y)} - \frac{x^2}{y(x - y)} = 1$

Приведем к общему знаменателю $xy(x-y)$:

$\frac{y^3 - x^3}{xy(x - y)} = 1$

$\frac{-(x^3 - y^3)}{xy(x-y)} = 1$

Из второго уравнения системы известно, что $x^3 - y^3 = 2$. Подставим это значение:

$\frac{-2}{xy(x-y)} = 1$

$xy(x-y) = -2$

$x^2y - xy^2 = -2$

Теперь мы имеем новую, более простую систему:

$$\begin{cases}x^3 - y^3 = 2 \\x^2y - xy^2 = -2\end{cases}$$

Сложим два уравнения этой системы:

$(x^3 - y^3) + (x^2y - xy^2) = 2 + (-2)$

$x^3 + x^2y - xy^2 - y^3 = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2(x+y) - y^2(x+y) = 0$

$(x^2 - y^2)(x+y) = 0$

$(x-y)(x+y)(x+y) = 0$

$(x-y)(x+y)^2 = 0$

Отсюда следует, что либо $x-y=0$, либо $x+y=0$.

1) Если $x-y=0$, то $x=y$. Это противоречит ОДЗ ($x \neq y$). Также, если подставить $x=y$ во второе исходное уравнение, получим $x^3 - x^3 = 0$, что противоречит условию $x^3 - y^3 = 2$.

2) Если $x+y=0$, то $x = -y$. Подставим это в уравнение $x^3 - y^3 = 2$:

$(-y)^3 - y^3 = 2$

$-y^3 - y^3 = 2$

$-2y^3 = 2$

$y^3 = -1$

$y = -1$

Тогда $x = -y = -(-1) = 1$.

Получили решение $(1, -1)$. Проверим его, подставив в ОДЗ и исходные уравнения. $x=1, y=-1$. $x \neq 0, y \neq 0, x \neq y$. Условия ОДЗ выполнены.

Проверка в исходных уравнениях:

$\frac{(-1)^2}{1^2 - 1(-1)} + \frac{1^2}{(-1)^2 - 1(-1)} = \frac{1}{1+1} + \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$. Верно.

$1^3 - (-1)^3 = 1 - (-1) = 2$. Верно.

Ответ: $(1, -1)$.