Номер 3.28, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Решите системы уравнений (3.28—3.31):

3.28. 1)

$\begin{cases} x^3 + y^3 - 65 = 0, \\ xy \cdot (x + y) - 20 = 0; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^4 = 5, \\ xy^2 = 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ xy \cdot (x + y) = -2; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 35, \\ x + y = 5. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + y^3 - 65 = 0 \\ xy(x+y) - 20 = 0 \end{cases}$

Перепишем систему, перенеся свободные члены в правую часть:

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 65 \\ xy(x+y) = 20 \end{cases}$

Это симметричная система уравнений. Введем новые переменные: $u = x+y$ и $v = xy$.

Используем формулу суммы кубов, выраженную через $u$ и $v$:

$x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2) = (x+y)((x+y)^2-3xy) = u(u^2-3v)$.

Подставив новые переменные, получим систему:

$\begin{cases} u(u^2 - 3v) = 65 \\ uv = 20 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v$ через $u$: $v = \frac{20}{u}$ (очевидно, $u \neq 0$, так как $uv=20$). Подставим это выражение в первое уравнение:

$u(u^2 - 3 \cdot \frac{20}{u}) = 65$

$u(u^2 - \frac{60}{u}) = 65$

$u^3 - 60 = 65$

$u^3 = 125$

Отсюда находим действительный корень $u = 5$.

Теперь найдем $v$:

$v = \frac{20}{u} = \frac{20}{5} = 4$.

Мы получили систему для $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 4 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Находим корни этого уравнения: $t_1 = 1, t_2 = 4$.

Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел $(1, 4)$ и $(4, 1)$.

Ответ: $(1, 4), (4, 1)$.

2)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + y^4 = 5 \\ xy^2 = 2 \end{cases}$

Из второго уравнения видно, что $y \neq 0$. Выразим $x$ из второго уравнения: $x = \frac{2}{y^2}$.

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(\frac{2}{y^2})^2 + y^4 = 5$

$\frac{4}{y^4} + y^4 = 5$

Сделаем замену переменной. Пусть $a = y^4$. Так как $y$ - действительное число и $y \neq 0$, то $a > 0$.

Уравнение принимает вид:

$\frac{4}{a} + a = 5$

Умножим обе части уравнения на $a$ (так как $a \neq 0$):

$4 + a^2 = 5a$

$a^2 - 5a + 4 = 0$

Решая это квадратное уравнение, находим корни: $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$. Оба корня положительны, следовательно, оба являются возможными значениями для $y^4$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $a = 1$.

$y^4 = 1$, откуда $y^2 = 1$ (так как $y^2$ должно быть неотрицательно). Тогда $y = \pm 1$.

При $y=1$, $x = \frac{2}{1^2} = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.

При $y=-1$, $x = \frac{2}{(-1)^2} = 2$. Получаем решение $(2, -1)$.

Случай 2: $a = 4$.

$y^4 = 4$, откуда $y^2 = 2$ (отбрасываем $y^2=-2$, так как $y$ действительное). Тогда $y = \pm \sqrt{2}$.

При $y=\sqrt{2}$, $x = \frac{2}{(\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем решение $(1, \sqrt{2})$.

При $y=-\sqrt{2}$, $x = \frac{2}{(-\sqrt{2})^2} = \frac{2}{2} = 1$. Получаем решение $(1, -\sqrt{2})$.

Ответ: $(2, 1), (2, -1), (1, \sqrt{2}), (1, -\sqrt{2})$.

3)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 7 \\ xy(x+y) = -2 \end{cases}$

Эта система является симметричной. Как и в задаче 1), введем замену $u = x+y$ и $v = xy$.

Используя тождество $x^3+y^3 = u(u^2-3v)$, перепишем систему в новых переменных:

$\begin{cases} u(u^2 - 3v) = 7 \\ uv = -2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v = -\frac{2}{u}$ (здесь $u \neq 0$) и подставим в первое уравнение:

$u(u^2 - 3(-\frac{2}{u})) = 7$

$u(u^2 + \frac{6}{u}) = 7$

$u^3 + 6 = 7$

$u^3 = 1$

Отсюда $u=1$.

Теперь найдем $v$:

$v = -\frac{2}{u} = -\frac{2}{1} = -2$.

Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$\begin{cases} x+y = 1 \\ xy = -2 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 2 = 0$.

Корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = -1$.

Следовательно, решениями системы являются пары $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.

4)

Исходная система уравнений:

$\begin{cases} x^3 + y^3 = 35 \\ x+y = 5 \end{cases}$

Используем формулу суммы кубов: $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Подставим известное значение $x+y=5$ в первое уравнение:

$5(x^2 - xy + y^2) = 35$

Разделим обе части на 5:

$x^2 - xy + y^2 = 7$

Теперь выразим $x^2+y^2$ через $x+y$: $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.

Подставим $x+y=5$:

$x^2+y^2 = 5^2 - 2xy = 25 - 2xy$.

Подставим это выражение в уравнение $x^2 - xy + y^2 = 7$:

$(25 - 2xy) - xy = 7$

$25 - 3xy = 7$

$-3xy = 7 - 25$

$-3xy = -18$

$xy = 6$

Теперь мы имеем простую систему:

$\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$

По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.

Находим корни этого уравнения: $t_1 = 2, t_2 = 3$.

Таким образом, решениями системы являются пары $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.