Номер 3.27, страница 41, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.27. Решите систему уравнений:

1)$\begin{cases}5y^2 - x^2 = 1, \\7y^2 + 3xy = 1;\end{cases}$

2)$\begin{cases}y^2 - x^2 = 12, \\y^2 - 3xy + x^2 = 0;\end{cases}$

3)$\begin{cases}y^2 - x^2 = -3, \\2y^2 - 3xy + 2x^2 = 4;\end{cases}$

4)$\begin{cases}4x^2 + xy = 5, \\x^2 + 3xy - 4 = 0;\end{cases}$

5)$\begin{cases}x^2 - 2xy + 3y = 2x, \\y^2 - 3xy + 6y = 4x;\end{cases}$

6)$\begin{cases}x^2 = 3 + y^2, \\2x^2 - 3xy = 4 - 2y.\end{cases}$

1)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 5y^2 - x^2 = 1, \\ 7y^2 + 3xy = 1; \end{cases}$
Правые части уравнений равны, поэтому приравняем левые части:
$5y^2 - x^2 = 7y^2 + 3xy$
$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$
Это однородное уравнение. Решим его относительно $x$, считая $y$ параметром.
Дискриминант $D = (3y)^2 - 4(1)(2y^2) = 9y^2 - 8y^2 = y^2$.
$x = \frac{-3y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{-3y \pm y}{2}$
Отсюда получаем два случая:
1. $x = \frac{-3y - y}{2} = -2y$
2. $x = \frac{-3y + y}{2} = -y$
Подставим эти выражения в первое уравнение системы $5y^2 - x^2 = 1$.
Случай 1: $x = -2y$
$5y^2 - (-2y)^2 = 1$
$5y^2 - 4y^2 = 1$
$y^2 = 1 \implies y = \pm 1$
Если $y=1$, то $x = -2(1) = -2$.
Если $y=-1$, то $x = -2(-1) = 2$.
Получаем решения: $(-2, 1)$ и $(2, -1)$.
Случай 2: $x = -y$
$5y^2 - (-y)^2 = 1$
$5y^2 - y^2 = 1$
$4y^2 = 1 \implies y^2 = 1/4 \implies y = \pm 1/2$
Если $y=1/2$, то $x = -1/2$.
Если $y=-1/2$, то $x = 1/2$.
Получаем решения: $(-1/2, 1/2)$ и $(1/2, -1/2)$.
Ответ: $(-2, 1), (2, -1), (-1/2, 1/2), (1/2, -1/2)$.

2)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} y^2 - x^2 = 12, \\ y^2 - 3xy + x^2 = 0; \end{cases}$
Второе уравнение является однородным. Предположим, что $x \neq 0$ (если $x=0$, то из второго уравнения $y=0$, но пара $(0,0)$ не удовлетворяет первому уравнению). Разделим второе уравнение на $x^2$:
$(\frac{y}{x})^2 - 3(\frac{y}{x}) + 1 = 0$
Пусть $t = \frac{y}{x}$. Получаем квадратное уравнение $t^2 - 3t + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 5$.
Корни: $t_1 = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$ и $t_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{y}{x} = \frac{3+\sqrt{5}}{2}$, то есть $y = x \frac{3+\sqrt{5}}{2}$.
Подставим в первое уравнение:
$(x \frac{3+\sqrt{5}}{2})^2 - x^2 = 12$
$x^2 ((\frac{3+\sqrt{5}}{2})^2 - 1) = 12$
$x^2 (\frac{9 + 6\sqrt{5} + 5}{4} - 1) = 12$
$x^2 (\frac{14 + 6\sqrt{5} - 4}{4}) = 12$
$x^2 (\frac{10 + 6\sqrt{5}}{4}) = 12 \implies x^2 (\frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}) = 12$
$x^2 = \frac{24}{5 + 3\sqrt{5}} = \frac{24(5 - 3\sqrt{5})}{(5 + 3\sqrt{5})(5 - 3\sqrt{5})} = \frac{24(5 - 3\sqrt{5})}{25 - 45} = \frac{24(5 - 3\sqrt{5})}{-20} = \frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}$.
Так как $3\sqrt{5} = \sqrt{45} > 5 = \sqrt{25}$, то $x^2 > 0$.
$x = \pm \sqrt{\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}}$.
Соответствующие значения $y = x \frac{3+\sqrt{5}}{2}$. Так как $\frac{3+\sqrt{5}}{2} > 0$, знаки $x$ и $y$ совпадают.
Случай 2: $\frac{y}{x} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$.
Аналогично подставляем в первое уравнение:
$x^2 ((\frac{3-\sqrt{5}}{2})^2 - 1) = 12 \implies x^2 (\frac{5 - 3\sqrt{5}}{2}) = 12$
$x^2 = \frac{24}{5 - 3\sqrt{5}}$. Так как $5 - 3\sqrt{5} < 0$, то $x^2 < 0$, и в этом случае действительных решений нет.
Ответ: $(\sqrt{\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}}, \frac{3+\sqrt{5}}{2}\sqrt{\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}}), (-\sqrt{\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}}, -\frac{3+\sqrt{5}}{2}\sqrt{\frac{6(3\sqrt{5}-5)}{5}})$.

3)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} y^2 - x^2 = -3, \\ 2y^2 - 3xy + 2x^2 = 4; \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы избавиться от свободных членов:
$\begin{cases} 4y^2 - 4x^2 = -12, \\ 6y^2 - 9xy + 6x^2 = 12; \end{cases}$
Сложим уравнения:
$(4y^2 - 4x^2) + (6y^2 - 9xy + 6x^2) = -12 + 12$
$10y^2 - 9xy + 2x^2 = 0$
Это однородное уравнение. Разделим на $x^2$ (случай $x=0$ дает $y=0$, что не является решением исходной системы):
$10(\frac{y}{x})^2 - 9(\frac{y}{x}) + 2 = 0$
Пусть $t = \frac{y}{x}$. Уравнение $10t^2 - 9t + 2 = 0$.
$D = (-9)^2 - 4(10)(2) = 81 - 80 = 1$.
$t = \frac{9 \pm 1}{20}$, откуда $t_1 = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$ и $t_2 = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
Случай 1: $y/x = 1/2 \implies y = x/2$.
Подставим в первое уравнение: $(x/2)^2 - x^2 = -3 \implies x^2/4 - x^2 = -3 \implies -3x^2/4 = -3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
Если $x=2, y=1$. Если $x=-2, y=-1$. Решения: $(2, 1), (-2, -1)$.
Случай 2: $y/x = 2/5 \implies y = 2x/5$.
Подставим в первое уравнение: $(2x/5)^2 - x^2 = -3 \implies 4x^2/25 - x^2 = -3 \implies -21x^2/25 = -3 \implies x^2 = 75/21 = 25/7 \implies x = \pm 5/\sqrt{7} = \pm 5\sqrt{7}/7$.
Если $x=5\sqrt{7}/7, y=2\sqrt{7}/7$. Если $x=-5\sqrt{7}/7, y=-2\sqrt{7}/7$.
Решения: $(\frac{5\sqrt{7}}{7}, \frac{2\sqrt{7}}{7}), (-\frac{5\sqrt{7}}{7}, -\frac{2\sqrt{7}}{7})$.
Ответ: $(2, 1), (-2, -1), (\frac{5\sqrt{7}}{7}, \frac{2\sqrt{7}}{7}), (-\frac{5\sqrt{7}}{7}, -\frac{2\sqrt{7}}{7})$.

4)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} 4x^2 + xy = 5, \\ x^2 + 3xy - 4 = 0; \end{cases}$
Перепишем второе уравнение: $x^2 + 3xy = 4$.
Умножим первое уравнение на 4, а второе на 5:
$\begin{cases} 16x^2 + 4xy = 20, \\ 5x^2 + 15xy = 20; \end{cases}$
Приравняем левые части:
$16x^2 + 4xy = 5x^2 + 15xy$
$11x^2 - 11xy = 0$
$11x(x-y) = 0$
Отсюда $x=0$ или $x=y$.
Случай 1: $x=0$.
Подставив в первое уравнение, получаем $4(0)^2 + 0 \cdot y = 5 \implies 0=5$, что неверно. Решений нет.
Случай 2: $x=y$.
Подставим в первое уравнение: $4x^2 + x(x) = 5 \implies 5x^2 = 5 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Если $x=1$, то $y=1$.
Если $x=-1$, то $y=-1$.
Проверим решения во втором уравнении $x^2 + 3xy = 4$.
Для $(1,1)$: $1^2+3(1)(1) = 4$. Верно.
Для $(-1,-1)$: $(-1)^2+3(-1)(-1) = 1+3=4$. Верно.
Ответ: $(1, 1), (-1, -1)$.

5)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 2xy + 3y = 2x, \\ y^2 - 3xy + 6y = 4x; \end{cases}$
Умножим первое уравнение на 2, чтобы приравнять правые части:
$2(x^2 - 2xy + 3y) = 2(2x) \implies 2x^2 - 4xy + 6y = 4x$.
Теперь приравняем левые части полученного и второго уравнений:
$2x^2 - 4xy + 6y = y^2 - 3xy + 6y$
$2x^2 - 4xy = y^2 - 3xy$
$2x^2 - xy - y^2 = 0$
Это однородное уравнение. Разложим его на множители: $(2x+y)(x-y)=0$.
Отсюда $y = -2x$ или $y = x$.
Рассмотрим два случая.
Случай 1: $y=x$.
Подставим в первое исходное уравнение: $x^2 - 2x(x) + 3x = 2x \implies -x^2 + x = 0 \implies x(1-x) = 0$.
Получаем $x=0$ или $x=1$.
Если $x=0$, то $y=0$. Решение $(0,0)$.
Если $x=1$, то $y=1$. Решение $(1,1)$.
Случай 2: $y=-2x$.
Подставим в первое исходное уравнение: $x^2 - 2x(-2x) + 3(-2x) = 2x \implies x^2 + 4x^2 - 6x = 2x \implies 5x^2 - 8x = 0 \implies x(5x-8)=0$.
Получаем $x=0$ или $x=8/5$.
Если $x=0$, то $y=0$. Это решение уже найдено.
Если $x=8/5$, то $y = -2(8/5) = -16/5$. Решение $(8/5, -16/5)$.
Ответ: $(0, 0), (1, 1), (8/5, -16/5)$.

6)Решим систему уравнений:
$\begin{cases} x^2 = 3 + y^2, \\ 2x^2 - 3xy = 4 - 2y; \end{cases}$
Перепишем систему в виде:
$\begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ 2x^2 - 3xy + 2y = 4; \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $x^2 = y^2+3$ и подставим во второе уравнение:
$2(y^2+3) - 3xy + 2y = 4$
$2y^2 + 6 - 3xy + 2y = 4$
$2y^2 + 2y + 2 = 3xy$
Предположим $y \neq 0$ (если $y=0$, то $x^2=3$ и $2x^2=4 \implies x^2=2$, что противоречиво).
Выразим $x$: $x = \frac{2y^2+2y+2}{3y}$.
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение $x^2 = y^2 + 3$:
$(\frac{2y^2+2y+2}{3y})^2 = y^2+3$
$\frac{4(y^2+y+1)^2}{9y^2} = y^2+3$
$4(y^4+2y^3+3y^2+2y+1) = 9y^2(y^2+3)$
$4y^4+8y^3+12y^2+8y+4 = 9y^4+27y^2$
$5y^4 - 8y^3 + 15y^2 - 8y - 4 = 0$
Проверим целочисленные делители свободного члена: $\pm1, \pm2, \pm4$.
Подставим $y=1$: $5(1)-8(1)+15(1)-8(1)-4 = 5-8+15-8-4=0$. Значит $y=1$ является корнем.
Найдем соответствующее значение $x$.
Если $y=1$, из первого уравнения $x^2 = 3+1^2=4 \implies x=\pm 2$.
Проверим полученные пары $(2,1)$ и $(-2,1)$ во втором уравнении $2x^2 - 3xy + 2y = 4$.
Для $(2,1)$: $2(2^2) - 3(2)(1) + 2(1) = 8 - 6 + 2 = 4$. Верно.
Для $(-2,1)$: $2(-2)^2 - 3(-2)(1) + 2(1) = 8 + 6 + 2 = 16 \neq 4$. Не является решением.
Другие действительные корни полинома для $y$ не являются рациональными.
Ответ: $(2, 1)$.