Номер 3.25, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.25. Найдите решение системы уравнений:

1)

$\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ xy = 36; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ xy = 4; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 10. \end{cases}$

1) $ \begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5, \\ xy = 36 \end{cases} $

Определим область допустимых значений. Так как в уравнениях присутствуют $\sqrt{x}$ и $\sqrt{y}$, должно выполняться $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Из второго уравнения $xy=36$ следует, что $x$ и $y$ не могут быть равны нулю, поэтому $x > 0$ и $y > 0$.

Введем новые переменные: пусть $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то и для новых переменных $a > 0$ и $b > 0$.Первое уравнение системы примет вид $a + b = 5$.Второе уравнение $xy=36$ можно преобразовать, извлекая квадратный корень из обеих частей: $\sqrt{xy} = \sqrt{36}$, что равносильно $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = 6$. В новых переменных это уравнение запишется как $ab = 6$.Таким образом, мы получаем новую систему уравнений: $ \begin{cases} a + b = 5, \\ ab = 6 \end{cases} $.

Согласно обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 5t + 6 = 0$.Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$.Корни: $t_1 = \frac{5 - \sqrt{1}}{2} = \frac{4}{2} = 2$ и $t_2 = \frac{5 + \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$.Следовательно, для пары $(a, b)$ возможны два варианта: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.
1. Если $a=2$ и $b=3$, то $\sqrt{x}=2$ и $\sqrt{y}=3$. Возведя в квадрат, получаем $x=4$ и $y=9$.
2. Если $a=3$ и $b=2$, то $\sqrt{x}=3$ и $\sqrt{y}=2$. Возведя в квадрат, получаем $x=9$ и $y=4$.
Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(4, 9), (9, 4)$.

2) $ \begin{cases} \sqrt{x} - \sqrt{y} = 1, \\ xy = 4 \end{cases} $

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Из второго уравнения $xy=4$ следует, что $x>0, y>0$. Кроме того, из первого уравнения $\sqrt{x} = 1 + \sqrt{y}$ следует, что $\sqrt{x} > \sqrt{y}$, а значит $x > y$.

Введем замену переменных: $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$, где $a > 0$ и $b > 0$.Из второго уравнения исходной системы $xy=4$ следует, что $\sqrt{xy}=2$, то есть $ab=2$.Система в новых переменных имеет вид: $ \begin{cases} a - b = 1, \\ ab = 2 \end{cases} $.

Решим эту систему методом подстановки. Из первого уравнения выразим $a$: $a = 1 + b$. Подставим это выражение во второе уравнение: $(1+b)b = 2$, что приводит к квадратному уравнению $b^2 + b - 2 = 0$.Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.Корни: $b_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1-3}{2} = -2$ и $b_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1+3}{2} = 1$.Так как по определению $b = \sqrt{y} > 0$, корень $b_1 = -2$ является посторонним.

Единственное подходящее значение $b=1$. Тогда $a = 1 + b = 1 + 1 = 2$.Выполним обратную замену:
$\sqrt{y} = b = 1 \implies y = 1^2 = 1$.
$\sqrt{x} = a = 2 \implies x = 2^2 = 4$.
Получили решение $(4, 1)$. Проверка подтверждает его правильность.

Ответ: $(4, 1)$.

3) $ \begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{5}{2}, \\ x + y = 10 \end{cases} $

ОДЗ: из-за наличия дробей под корнем, $x$ и $y$ должны быть одного знака и не равны нулю. Из второго уравнения $x+y=10$ следует, что их сумма положительна, поэтому оба числа должны быть положительными: $x > 0, y > 0$.

Преобразуем первое уравнение системы. Приведем левую часть к общему знаменателю:$\sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x})^2 + (\sqrt{y})^2}{\sqrt{y}\sqrt{x}} = \frac{x+y}{\sqrt{xy}}$.Таким образом, первое уравнение можно переписать в виде $\frac{x+y}{\sqrt{xy}} = \frac{5}{2}$.

Подставим в это уравнение значение $x+y=10$ из второго уравнения системы: $\frac{10}{\sqrt{xy}} = \frac{5}{2}$.Отсюда находим $\sqrt{xy}$: $5\sqrt{xy} = 20$, то есть $\sqrt{xy} = 4$.Возведя обе части в квадрат, получим $xy=16$.

Теперь исходная система эквивалентна более простой системе:$ \begin{cases} x + y = 10, \\ xy = 16 \end{cases} $.По обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 10z + 16 = 0$.Найдем корни. Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 100 - 64 = 36$.Корни: $z_1 = \frac{10 - \sqrt{36}}{2} = \frac{10-6}{2} = 2$ и $z_2 = \frac{10 + \sqrt{36}}{2} = \frac{10+6}{2} = 8$.

Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(2, 8)$ и $(8, 2)$. Обе пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 8), (8, 2)$.