Номер 3.24, страница 40, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.24. Решите систему уравнений:

1)

$\begin{cases} x^2 - y^2 = \frac{13}{4}, \\ \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -2,5; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 68, \\ \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{17}{4}; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x + y = 2, \\ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 3; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} x + y = 12, \\ \frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18. \end{cases}$

1)Дана система уравнений:$\begin{cases} x^2 - y^2 = \frac{13}{4} \\\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = -2,5 \end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.Преобразуем второе уравнение. Приведем дроби к общему знаменателю:$\frac{x^2 + y^2}{xy} = -2,5 = -\frac{5}{2}$Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$. Тогда второе уравнение примет вид:$t + \frac{1}{t} = -2,5$$t^2 + 2,5t + 1 = 0$Умножим на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:$2t^2 + 5t + 2 = 0$Решим квадратное уравнение относительно $t$.Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.$t_1 = \frac{-5 - 3}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2$$t_2 = \frac{-5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -0,5$Рассмотрим два случая.
Случай 1: $\frac{x}{y} = -2$, откуда $x = -2y$.Подставим это выражение в первое уравнение системы:$(-2y)^2 - y^2 = \frac{13}{4}$$4y^2 - y^2 = \frac{13}{4}$$3y^2 = \frac{13}{4}$$y^2 = \frac{13}{12}$$y = \pm\sqrt{\frac{13}{12}} = \pm\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{3}} = \pm\frac{\sqrt{39}}{6}$Если $y = \frac{\sqrt{39}}{6}$, то $x = -2 \cdot \frac{\sqrt{39}}{6} = -\frac{\sqrt{39}}{3}$.Если $y = -\frac{\sqrt{39}}{6}$, то $x = -2 \cdot (-\frac{\sqrt{39}}{6}) = \frac{\sqrt{39}}{3}$.Получили две пары решений: $(-\frac{\sqrt{39}}{3}, \frac{\sqrt{39}}{6})$ и $(\frac{\sqrt{39}}{3}, -\frac{\sqrt{39}}{6})$.
Случай 2: $\frac{x}{y} = -0,5$, откуда $x = -0,5y = -\frac{1}{2}y$.Подставим это выражение в первое уравнение системы:$(-\frac{1}{2}y)^2 - y^2 = \frac{13}{4}$$\frac{1}{4}y^2 - y^2 = \frac{13}{4}$$-\frac{3}{4}y^2 = \frac{13}{4}$$y^2 = -\frac{13}{3}$Данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: $(-\frac{\sqrt{39}}{3}, \frac{\sqrt{39}}{6}), (\frac{\sqrt{39}}{3}, -\frac{\sqrt{39}}{6})$.

2)Дана система уравнений:$\begin{cases} x^2 + y^2 = 68 \\\frac{x}{y} - \frac{y}{x} = \frac{17}{4}\end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.Преобразуем второе уравнение:$\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{17}{4}$$x^2 - y^2 = \frac{17}{4}xy$Возведем обе части первого уравнения в квадрат:$(x^2 + y^2)^2 = 68^2 \implies x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 4624$.Возведем обе части преобразованного второго уравнения в квадрат:$(x^2 - y^2)^2 = (\frac{17}{4}xy)^2 \implies x^4 - 2x^2y^2 + y^4 = \frac{289}{16}x^2y^2$.Вычтем второе полученное уравнение из первого:$(x^4 + 2x^2y^2 + y^4) - (x^4 - 2x^2y^2 + y^4) = 4624 - \frac{289}{16}x^2y^2$$4x^2y^2 = 4624 - \frac{289}{16}x^2y^2$Сделаем замену $P = (xy)^2$:$4P = 4624 - \frac{289}{16}P$$4P + \frac{289}{16}P = 4624$$\frac{64P + 289P}{16} = 4624$$\frac{353}{16}P = 4624$$P = \frac{4624 \cdot 16}{353} = \frac{68^2 \cdot 16}{353} = \frac{289 \cdot 16 \cdot 16}{353} = \frac{289 \cdot 256}{353}$.Так как $P=(xy)^2$, то $xy = \pm \sqrt{\frac{289 \cdot 256}{353}} = \pm \frac{17 \cdot 16}{\sqrt{353}} = \pm \frac{272}{\sqrt{353}}$.Из условия $\frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{17}{4} > 0$, знаки $x^2-y^2$ и $xy$ должны совпадать.Теперь решим систему:$\begin{cases} x^2+y^2=68 \\xy=P_{1,2}\end{cases}$$y = \frac{xy}{x}$, подставим в первое уравнение: $x^2 + (\frac{xy}{x})^2 = 68 \implies x^4 - 68x^2 + (xy)^2 = 0$.$x^4 - 68x^2 + \frac{289 \cdot 256}{353} = 0$.Решим это биквадратное уравнение для $x^2$:$D_{x^2} = (-68)^2 - 4 \cdot \frac{289 \cdot 256}{353} = 4624 - \frac{295936}{353} = \frac{4624 \cdot 353 - 295936}{353} = \frac{1632272 - 295936}{353} = \frac{1336336}{353} = \frac{1156^2}{353}$.$x^2 = \frac{68 \pm \sqrt{\frac{1156^2}{353}}}{2} = \frac{68 \pm \frac{1156}{\sqrt{353}}}{2} = 34 \pm \frac{578}{\sqrt{353}}$.Тогда $y^2 = 68 - x^2 = 68 - (34 \pm \frac{578}{\sqrt{353}}) = 34 \mp \frac{578}{\sqrt{353}}$.Проверим знак $x^2 - y^2$:$x^2-y^2 = (34 \pm \frac{578}{\sqrt{353}}) - (34 \mp \frac{578}{\sqrt{353}}) = \pm \frac{1156}{\sqrt{353}}$.Так как $xy$ и $x^2-y^2$ должны иметь одинаковый знак, рассмотрим два случая для $xy$:1) $xy = \frac{272}{\sqrt{353}} > 0$. Тогда $x^2-y^2 = \frac{1156}{\sqrt{353}} > 0$. Это соответствует $x^2 = 34 + \frac{578}{\sqrt{353}}$ и $y^2 = 34 - \frac{578}{\sqrt{353}}$. Так как $xy>0$, $x$ и $y$ имеют одинаковый знак.2) $xy = -\frac{272}{\sqrt{353}} < 0$. Тогда $x^2-y^2 = -\frac{1156}{\sqrt{353}} < 0$. Это соответствует $x^2 = 34 - \frac{578}{\sqrt{353}}$ и $y^2 = 34 + \frac{578}{\sqrt{353}}$. Так как $xy<0$, $x$ и $y$ имеют разные знаки.Оба случая приводят к одинаковым наборам решений.
Ответ: $(\sqrt{34 + \frac{578}{\sqrt{353}}}, \sqrt{34 - \frac{578}{\sqrt{353}}})$; $(-\sqrt{34 + \frac{578}{\sqrt{353}}}, -\sqrt{34 - \frac{578}{\sqrt{353}}})$; $(\sqrt{34 - \frac{578}{\sqrt{353}}}, -\sqrt{34 + \frac{578}{\sqrt{353}}})$; $(-\sqrt{34 - \frac{578}{\sqrt{353}}}, \sqrt{34 + \frac{578}{\sqrt{353}}})$.

3)Дана система уравнений:$\begin{cases} x + y = 2 \\\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 3 \end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.Преобразуем второе уравнение, приведя к общему знаменателю:$\frac{x^3 + y^3}{xy} = 3 \implies x^3 + y^3 = 3xy$.Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.Также $x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$.Подставим это в формулу суммы кубов: $x^3+y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 2xy - xy) = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$.Подставим известные значения из системы: $x+y=2$.$2(2^2 - 3xy) = 3xy$$2(4 - 3xy) = 3xy$$8 - 6xy = 3xy$$8 = 9xy$$xy = \frac{8}{9}$Теперь мы имеем систему из основных симметрических многочленов:$\begin{cases} x + y = 2 \\xy = \frac{8}{9} \end{cases}$Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.$t^2 - 2t + \frac{8}{9} = 0$Умножим на 9:$9t^2 - 18t + 8 = 0$$D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 8 = 324 - 288 = 36 = 6^2$.$t_1 = \frac{18 - 6}{18} = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$$t_2 = \frac{18 + 6}{18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3})$ и $(\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$.
Ответ: $(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}), (\frac{4}{3}, \frac{2}{3})$.

4)Дана система уравнений:$\begin{cases} x + y = 12 \\\frac{x^2}{y} + \frac{y^2}{x} = 18 \end{cases}$
Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.Решение аналогично предыдущему пункту. Преобразуем второе уравнение:$\frac{x^3 + y^3}{xy} = 18 \implies x^3 + y^3 = 18xy$.Используем тождество $x^3+y^3 = (x+y)((x+y)^2 - 3xy)$.Подставим $x+y=12$:$12(12^2 - 3xy) = 18xy$$12(144 - 3xy) = 18xy$Разделим обе части на 6:$2(144 - 3xy) = 3xy$$288 - 6xy = 3xy$$288 = 9xy$$xy = \frac{288}{9} = 32$Получили систему:$\begin{cases} x + y = 12 \\xy = 32 \end{cases}$$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 12t + 32 = 0$.По теореме Виета, корни равны 4 и 8, так как $4+8=12$ и $4 \cdot 8=32$.Либо через дискриминант:$D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16 = 4^2$.$t_1 = \frac{12 - 4}{2} = \frac{8}{2} = 4$$t_2 = \frac{12 + 4}{2} = \frac{16}{2} = 8$Решениями системы являются пары чисел $(4, 8)$ и $(8, 4)$.
Ответ: $(4, 8), (8, 4)$.