Номер 3.17, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.17. Являются ли равносильными системы уравнений:

1) $ \begin{cases} 2xy - 3y^2 = 0, \\ 5x^2 + 2y = 3 \end{cases} $ и $ \begin{cases} 2x - 3y = 0, \\ 5x^2 + 2y = 3 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} (x + y)^2 = 9, \\ xy = 2 \end{cases} $ и $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = 2? \end{cases} $

1)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $\begin{cases}2xy - 3y^2 = 0, \\5x^2 + 2y = 3\end{cases}$

Вторая система: $\begin{cases}2x - 3y = 0, \\5x^2 + 2y = 3\end{cases}$

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы проверить равносильность, сравним их решения.

Преобразуем первое уравнение первой системы: $2xy - 3y^2 = 0$.

Вынесем общий множитель $y$ за скобки:

$y(2x - 3y) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, это уравнение равносильно совокупности двух уравнений: $y=0$ или $2x - 3y = 0$.

Следовательно, первая система равносильна совокупности двух систем:

Система (А): $\begin{cases}y = 0, \\5x^2 + 2y = 3\end{cases}$ и Система (Б): $\begin{cases}2x - 3y = 0, \\5x^2 + 2y = 3\end{cases}$

Система (Б) полностью совпадает со второй из заданных систем. Это означает, что все решения второй системы являются также решениями первой. Однако, чтобы системы были равносильны, необходимо, чтобы все решения первой системы были решениями второй.

Рассмотрим решения, которые дает система (А). Подставим $y=0$ во второе уравнение системы (А):

$5x^2 + 2(0) = 3$

$5x^2 = 3$

$x^2 = \frac{3}{5}$

$x = \pm\sqrt{\frac{3}{5}}$

Таким образом, первая система имеет, среди прочих, решения $(\sqrt{\frac{3}{5}}, 0)$ и $(-\sqrt{\frac{3}{5}}, 0)$.

Проверим, являются ли эти пары чисел решениями второй системы. Подставим, например, пару $(\sqrt{\frac{3}{5}}, 0)$ в первое уравнение второй системы $2x - 3y = 0$:

$2\left(\sqrt{\frac{3}{5}}\right) - 3(0) = 2\sqrt{\frac{3}{5}} \neq 0$

Так как равенство не выполняется, пара $(\sqrt{\frac{3}{5}}, 0)$ не является решением второй системы.

Поскольку мы нашли решение первой системы, которое не является решением второй, множества решений этих систем не совпадают. Следовательно, данные системы не равносильны. Переход от первой системы ко второй был осуществлен путем деления уравнения $y(2x - 3y) = 0$ на $y$, что является недопустимым преобразованием, так как приводит к потере корней (в данном случае, решений, где $y=0$).

Ответ: нет.

2)

Рассмотрим две системы уравнений:

Первая система: $\begin{cases}(x + y)^2 = 9, \\xy = 2\end{cases}$

Вторая система: $\begin{cases}x^2 + y^2 = 5, \\xy = 2\end{cases}$

Вторые уравнения в обеих системах идентичны. Проверим равносильность первых уравнений при условии, что $xy=2$.

Начнем с первой системы. Преобразуем ее первое уравнение, используя формулу квадрата суммы:

$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 = 9$

Из второго уравнения этой системы мы знаем, что $xy = 2$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$x^2 + 2(2) + y^2 = 9$

$x^2 + 4 + y^2 = 9$

$x^2 + y^2 = 5$

Полученное уравнение является первым уравнением второй системы. Так как второе уравнение ($xy=2$) у систем общее, мы путем равносильных преобразований (подстановки) получили из первой системы вторую. Это означает, что любое решение первой системы является решением второй.

Теперь проверим, можно ли из второй системы получить первую. Начнем с первого уравнения второй системы:

$x^2 + y^2 = 5$

Прибавим к обеим частям уравнения $2xy$:

$x^2 + 2xy + y^2 = 5 + 2xy$

Левую часть можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$(x+y)^2 = 5 + 2xy$

Теперь используем второе уравнение системы, $xy = 2$, и подставим его в правую часть:

$(x+y)^2 = 5 + 2(2)$

$(x+y)^2 = 9$

Это первое уравнение первой системы. Таким образом, мы из второй системы получили первую путем равносильных преобразований. Это означает, что любое решение второй системы является решением первой.

Поскольку из первой системы следует вторая, и из второй системы следует первая, эти системы имеют одинаковые множества решений, то есть они равносильны.

Ответ: да.