Номер 3.13, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.13. Найдите решение системы уравнений:

1)

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{26}{5}, \\ xy = 6; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{6(x-y)}{x+y} = 5, \\ xy = 2; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3}, \\ x^2 + y^2 = 5; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{5(x-y)}{x+y} = -6, \\ x^2 + y^2 = 13. \end{cases}$

1)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{26}{5} \\ xy = 6 \end{cases} $

Область допустимых значений: $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$.

Введем замену в первом уравнении. Пусть $t = \frac{x+y}{x-y}$. Тогда $\frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{t}$.

Первое уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{26}{5}$

Умножим обе части на $5t$ (при $t \neq 0$):

$5t^2 + 5 = 26t$

$5t^2 - 26t + 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 5 = 676 - 100 = 576 = 24^2$.

$t_1 = \frac{26 - 24}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$t_2 = \frac{26 + 24}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = 5$.

$\frac{x+y}{x-y} = 5$

$x+y = 5(x-y)$

$x+y = 5x-5y$

$6y = 4x$, откуда $x = \frac{3}{2}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $xy=6$:

$(\frac{3}{2}y)y = 6$

$\frac{3}{2}y^2 = 6$

$y^2 = 4$, откуда $y_1 = 2$, $y_2 = -2$.

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = \frac{3}{2} \cdot 2 = 3$.

Если $y_2 = -2$, то $x_2 = \frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.

Получили две пары решений: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{5}$.

$\frac{x+y}{x-y} = \frac{1}{5}$

$5(x+y) = x-y$

$5x+5y = x-y$

$4x = -6y$, откуда $x = -\frac{3}{2}y$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы $xy=6$:

$(-\frac{3}{2}y)y = 6$

$-\frac{3}{2}y^2 = 6$

$y^2 = -4$. В этом случае действительных решений нет.

Проверим найденные решения: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$. Для них $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$.

Ответ: $(3, 2)$, $(-3, -2)$.

2)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{6(x-y)}{x+y} = 5 \\ xy = 2 \end{cases} $

ОДЗ: $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$.

Введем замену $t = \frac{x+y}{x-y}$. Первое уравнение примет вид:

$t + \frac{6}{t} = 5$

Умножим обе части на $t$ (при $t \neq 0$):

$t^2 + 6 = 5t$

$t^2 - 5t + 6 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = 2$.

$\frac{x+y}{x-y} = 2$

$x+y = 2(x-y) \implies x+y = 2x-2y \implies x = 3y$.

Подставим в $xy=2$:

$(3y)y = 2 \implies 3y^2 = 2 \implies y^2 = \frac{2}{3}$.

$y = \pm\sqrt{\frac{2}{3}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Если $y_1 = \frac{\sqrt{6}}{3}$, то $x_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{6}}{3} = \sqrt{6}$.

Если $y_2 = -\frac{\sqrt{6}}{3}$, то $x_2 = 3 \cdot (-\frac{\sqrt{6}}{3}) = -\sqrt{6}$.

Получили решения: $(\sqrt{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$ и $(-\sqrt{6}, -\frac{\sqrt{6}}{3})$.

Случай 2: $t = 3$.

$\frac{x+y}{x-y} = 3$

$x+y = 3(x-y) \implies x+y = 3x-3y \implies 2x = 4y \implies x = 2y$.

Подставим в $xy=2$:

$(2y)y = 2 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1$.

$y = \pm 1$.

Если $y_3 = 1$, то $x_3 = 2 \cdot 1 = 2$.

Если $y_4 = -1$, то $x_4 = 2 \cdot (-1) = -2$.

Получили решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Все четыре пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(\sqrt{6}, \frac{\sqrt{6}}{3})$, $(-\sqrt{6}, -\frac{\sqrt{6}}{3})$.

3)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3} \\ x^2 + y^2 = 5 \end{cases} $

ОДЗ: $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$.

Введем замену $t = \frac{x+y}{x-y}$. Первое уравнение примет вид:

$t + \frac{1}{t} = \frac{10}{3}$

Умножим на $3t$ (при $t \neq 0$):

$3t^2 + 3 = 10t$

$3t^2 - 10t + 3 = 0$

Дискриминант $D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64 = 8^2$.

$t_1 = \frac{10 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$t_2 = \frac{10 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = 3$.

$\frac{x+y}{x-y} = 3 \implies x+y = 3(x-y) \implies x+y = 3x-3y \implies 2x = 4y \implies x = 2y$.

Подставим в $x^2 + y^2 = 5$:

$(2y)^2 + y^2 = 5 \implies 4y^2 + y^2 = 5 \implies 5y^2 = 5 \implies y^2 = 1$.

$y = \pm 1$.

Если $y_1=1$, то $x_1=2$. Если $y_2=-1$, то $x_2=-2$.

Решения: $(2, 1)$ и $(-2, -1)$.

Случай 2: $t = \frac{1}{3}$.

$\frac{x+y}{x-y} = \frac{1}{3} \implies 3(x+y) = x-y \implies 3x+3y = x-y \implies 2x = -4y \implies x = -2y$.

Подставим в $x^2 + y^2 = 5$:

$(-2y)^2 + y^2 = 5 \implies 4y^2 + y^2 = 5 \implies 5y^2 = 5 \implies y^2 = 1$.

$y = \pm 1$.

Если $y_3=1$, то $x_3=-2$. Если $y_4=-1$, то $x_4=2$.

Решения: $(-2, 1)$ и $(2, -1)$.

Все четыре пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(-2, 1)$, $(2, -1)$.

4)

Исходная система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} + \frac{5(x-y)}{x+y} = -6 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases} $

ОДЗ: $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$.

Введем замену $t = \frac{x+y}{x-y}$. Первое уравнение примет вид:

$t + \frac{5}{t} = -6$

Умножим на $t$ (при $t \neq 0$):

$t^2 + 5 = -6t$

$t^2 + 6t + 5 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения: $t_1 = -1$, $t_2 = -5$.

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $t = -1$.

$\frac{x+y}{x-y} = -1 \implies x+y = -(x-y) \implies x+y = -x+y \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

Подставим в $x^2 + y^2 = 13$:

$0^2 + y^2 = 13 \implies y^2 = 13$.

$y = \pm \sqrt{13}$.

Решения: $(0, \sqrt{13})$ и $(0, -\sqrt{13})$.

Случай 2: $t = -5$.

$\frac{x+y}{x-y} = -5 \implies x+y = -5(x-y) \implies x+y = -5x+5y \implies 6x = 4y \implies y = \frac{3}{2}x$.

Подставим в $x^2 + y^2 = 13$:

$x^2 + (\frac{3}{2}x)^2 = 13 \implies x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 13 \implies \frac{13}{4}x^2 = 13 \implies x^2 = 4$.

$x = \pm 2$.

Если $x_3=2$, то $y_3=\frac{3}{2} \cdot 2 = 3$. Если $x_4=-2$, то $y_4=\frac{3}{2} \cdot (-2) = -3$.

Решения: $(2, 3)$ и $(-2, -3)$.

Все четыре пары удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(0, \sqrt{13})$, $(0, -\sqrt{13})$, $(2, 3)$, $(-2, -3)$.