Номер 3.7, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.7. Найдите решение системы:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = \frac{5}{16} \\ xy = 0.125 \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 0.75 \\ xy = -0.5 \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 61 \\ x^2 - y^2 = 11 \end{cases} $

5) $ \begin{cases} xy + 2 = 2x \\ 9 = y - xy \end{cases} $

6) $ \begin{cases} xy + y = 7 - x \\ x + 4 = y + 2xy \end{cases} $

7) $ \begin{cases} 2xy = 10 + x \\ 2 = y + xy \end{cases} $

8) $ \begin{cases} xy + 12 = 0 \\ y - 6x = \frac{2}{3} \end{cases} $

1) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = \frac{5}{16} \\xy = 0,125\end{cases}$

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Умножим второе уравнение на 2, получим $2xy = 2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{4}$.

Теперь используем формулы квадрата суммы и квадрата разности:

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = \frac{5}{16} + \frac{1}{4} = \frac{5}{16} + \frac{4}{16} = \frac{9}{16}$. Из этого следует, что $x+y = \pm\sqrt{\frac{9}{16}} = \pm\frac{3}{4}$.

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = \frac{5}{16} - \frac{1}{4} = \frac{5}{16} - \frac{4}{16} = \frac{1}{16}$. Из этого следует, что $x-y = \pm\sqrt{\frac{1}{16}} = \pm\frac{1}{4}$.

Мы получили четыре системы линейных уравнений:

а) $\begin{cases} x+y = \frac{3}{4} \\ x-y = \frac{1}{4} \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$. Вычтем второе из первого: $2y = \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{4}$.

б) $\begin{cases} x+y = \frac{3}{4} \\ x-y = -\frac{1}{4} \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = \frac{1}{2} \implies x = \frac{1}{4}$. Вычтем второе из первого: $2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$.

в) $\begin{cases} x+y = -\frac{3}{4} \\ x-y = \frac{1}{4} \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = -\frac{1}{2} \implies x = -\frac{1}{4}$. Вычтем второе из первого: $2y = -1 \implies y = -\frac{1}{2}$.

г) $\begin{cases} x+y = -\frac{3}{4} \\ x-y = -\frac{1}{4} \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$. Вычтем второе из первого: $2y = -\frac{1}{2} \implies y = -\frac{1}{4}$.

Ответ: $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$, $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{4}, -\frac{1}{2})$, $(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{4})$.

2) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 - y^2 = 0,75 \\xy = -0,5\end{cases}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0,75 = \frac{3}{4}$ и $-0,5 = -\frac{1}{2}$.

Из второго уравнения выразим $y$ (при условии, что $x \neq 0$): $y = -\frac{1}{2x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x^2 - (-\frac{1}{2x})^2 = \frac{3}{4}$

$x^2 - \frac{1}{4x^2} = \frac{3}{4}$

Умножим обе части уравнения на $4x^2$:

$4x^4 - 1 = 3x^2$

$4x^4 - 3x^2 - 1 = 0$

Сделаем замену $t = x^2$ (где $t \ge 0$):

$4t^2 - 3t - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = (-3)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$.

$t = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 4} = \frac{3 \pm 5}{8}$.

$t_1 = \frac{3+5}{8} = 1$. $t_2 = \frac{3-5}{8} = -\frac{1}{4}$.

Так как $t = x^2 \ge 0$, нам подходит только $t_1 = 1$.

Возвращаемся к замене: $x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.

Если $x = 1$, то $y = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.

Если $x = -1$, то $y = -\frac{1}{2 \cdot (-1)} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $(1, -0,5)$, $(-1, 0,5)$.

3) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 10 \\xy = 3\end{cases}$

Умножим второе уравнение на 2, получим $2xy = 6$.

Как и в первом задании, используем формулы квадрата суммы и разности:

$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 10 + 6 = 16 \implies x+y = \pm 4$.

$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 10 - 6 = 4 \implies x-y = \pm 2$.

Рассмотрим четыре системы линейных уравнений:

а) $\begin{cases} x+y = 4 \\ x-y = 2 \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = 6 \implies x = 3$. Тогда $y = 4-x = 1$.

б) $\begin{cases} x+y = 4 \\ x-y = -2 \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = 2 \implies x = 1$. Тогда $y = 4-x = 3$.

в) $\begin{cases} x+y = -4 \\ x-y = 2 \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = -2 \implies x = -1$. Тогда $y = -4-x = -3$.

г) $\begin{cases} x+y = -4 \\ x-y = -2 \end{cases}$. Сложим уравнения: $2x = -6 \implies x = -3$. Тогда $y = -4-x = -1$.

Ответ: $(3, 1)$, $(1, 3)$, $(-1, -3)$, $(-3, -1)$.

4) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x^2 + y^2 = 61 \\x^2 - y^2 = 11\end{cases}$

Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$.

Сложим два уравнения: $(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 61 + 11 \implies 2x^2 = 72 \implies x^2 = 36$.

Отсюда $x = \pm \sqrt{36} = \pm 6$.

Вычтем второе уравнение из первого: $(x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 61 - 11 \implies 2y^2 = 50 \implies y^2 = 25$.

Отсюда $y = \pm \sqrt{25} = \pm 5$.

Комбинируя возможные значения $x$ и $y$, получаем четыре решения.

Ответ: $(6, 5)$, $(6, -5)$, $(-6, 5)$, $(-6, -5)$.

5) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}xy + 2 = 2x \\9 = y - xy\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $xy$: $xy = y - 9$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y-9) + 2 = 2x \implies y - 7 = 2x \implies y = 2x + 7$.

Теперь подставим полученное выражение для $y$ в уравнение $xy = y-9$:

$x(2x+7) = (2x+7) - 9$

$2x^2 + 7x = 2x - 2$

$2x^2 + 5x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

$x = \frac{-5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

$x_1 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$.

$x_2 = \frac{-5-3}{4} = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = -1/2$, $y_1 = 2(-\frac{1}{2}) + 7 = -1 + 7 = 6$.

При $x_2 = -2$, $y_2 = 2(-2) + 7 = -4 + 7 = 3$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, 6)$, $(-2, 3)$.

6) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}xy + y = 7 - x \\x + 4 = y + 2xy\end{cases}$

Перепишем систему в более удобном виде:

$\begin{cases}xy + x + y = 7 \\-2xy + x - y = -4\end{cases}$

Умножим первое уравнение на 2:

$\begin{cases}2xy + 2x + 2y = 14 \\-2xy + x - y = -4\end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(2xy + 2x + 2y) + (-2xy + x - y) = 14 - 4$

$3x + y = 10 \implies y = 10 - 3x$.

Подставим это выражение для $y$ в первое исходное уравнение $xy + x + y = 7$:

$x(10 - 3x) + x + (10 - 3x) = 7$

$10x - 3x^2 + x + 10 - 3x = 7$

$-3x^2 + 8x + 10 = 7$

$-3x^2 + 8x + 3 = 0$

$3x^2 - 8x - 3 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.

$x = \frac{8 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{8 \pm 10}{6}$.

$x_1 = \frac{8+10}{6} = 3$.

$x_2 = \frac{8-10}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 3$, $y_1 = 10 - 3(3) = 10 - 9 = 1$.

При $x_2 = -1/3$, $y_2 = 10 - 3(-\frac{1}{3}) = 10 + 1 = 11$.

Ответ: $(3, 1)$, $(-\frac{1}{3}, 11)$.

7) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}2xy = 10 + x \\2 = y + xy\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $xy$: $xy = 2 - y$.

Подставим это в первое уравнение:

$2(2 - y) = 10 + x$

$4 - 2y = 10 + x \implies x = 4 - 2y - 10 \implies x = -2y - 6$.

Теперь подставим полученное выражение для $x$ в уравнение $xy = 2 - y$:

$(-2y - 6)y = 2 - y$

$-2y^2 - 6y = 2 - y$

$-2y^2 - 5y - 2 = 0$

$2y^2 + 5y + 2 = 0$

Это то же самое квадратное уравнение, что и в задаче 5, только для переменной $y$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9$.

$y = \frac{-5 \pm 3}{4}$.

$y_1 = \frac{-5+3}{4} = -\frac{1}{2}$.

$y_2 = \frac{-5-3}{4} = -2$.

Найдем соответствующие значения $x$:

При $y_1 = -1/2$, $x_1 = -2(-\frac{1}{2}) - 6 = 1 - 6 = -5$.

При $y_2 = -2$, $x_2 = -2(-2) - 6 = 4 - 6 = -2$.

Ответ: $(-5, -\frac{1}{2})$, $(-2, -2)$.

8) Решение:

Дана система уравнений:

$\begin{cases}xy + 12 = 0 \\y - 6x = \frac{2}{3}\end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 6x + \frac{2}{3}$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x(6x + \frac{2}{3}) + 12 = 0$

$6x^2 + \frac{2}{3}x + 12 = 0$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дроби:

$18x^2 + 2x + 36 = 0$

Разделим уравнение на 2 для упрощения:

$9x^2 + x + 18 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 9 \cdot 18 = 1 - 648 = -647$.

Так как дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и система уравнений не имеет решений в действительных числах.

Ответ: решений нет.