Номер 3.5, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.5. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 9, \\ x - y = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 16, \\ x + y = -2; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 4, \\ x - y = 4; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} xy + x + y = 11, \\ xy(x + y) = 30; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} x^2 - 5y^2 = -1, \\ 3xy + 7y^2 = 1; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^2 - y^2 = 3, \\ x^3 - y^3 = 7(x - y). \end{cases} $

1)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 9 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
Левая часть первого уравнения является полным квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Таким образом, система принимает вид: $\begin{cases} (x+y)^2 = 9 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
Из первого уравнения получаем два возможных случая: $x+y = 3$ или $x+y = -3$.
Рассмотрим каждый случай отдельно.
а) Решим систему: $\begin{cases} x + y = 3 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = 3+1$, что дает $2x = 4$, откуда $x=2$.
Подставим $x=2$ в первое уравнение: $2+y=3$, откуда $y=1$.
Получили решение $(2, 1)$.
б) Решим систему: $\begin{cases} x + y = -3 \\ x - y = 1 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $(x+y) + (x-y) = -3+1$, что дает $2x = -2$, откуда $x=-1$.
Подставим $x=-1$ в первое уравнение: $-1+y=-3$, откуда $y=-2$.
Получили решение $(-1, -2)$.

Ответ: $(2, 1), (-1, -2)$.

2)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 - 2xy = 16 \\ x + y = -2 \end{cases}$.
Левая часть первого уравнения является полным квадратом разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.
Система принимает вид: $\begin{cases} (x-y)^2 = 16 \\ x + y = -2 \end{cases}$.
Из первого уравнения получаем: $x-y = 4$ или $x-y = -4$.
Рассмотрим два случая.
а) Решим систему: $\begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = -2 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $(x-y) + (x+y) = 4-2$, что дает $2x = 2$, откуда $x=1$.
Подставим $x=1$ во второе уравнение: $1+y=-2$, откуда $y=-3$.
Получили решение $(1, -3)$.
б) Решим систему: $\begin{cases} x - y = -4 \\ x + y = -2 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $(x-y) + (x+y) = -4-2$, что дает $2x = -6$, откуда $x=-3$.
Подставим $x=-3$ во второе уравнение: $-3+y=-2$, откуда $y=1$.
Получили решение $(-3, 1)$.

Ответ: $(1, -3), (-3, 1)$.

3)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 4 \\ x - y = 4 \end{cases}$.
Преобразуем первое уравнение, используя формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = 4$.
Система принимает вид: $\begin{cases} (x+y)^2 = 4 \\ x - y = 4 \end{cases}$.
Из первого уравнения: $x+y = 2$ или $x+y = -2$.
Рассмотрим два случая.
а) Решим систему: $\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = 4 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $2x = 6$, откуда $x=3$.
Подставим $x=3$ в первое уравнение: $3+y=2$, откуда $y=-1$.
Получили решение $(3, -1)$.
б) Решим систему: $\begin{cases} x + y = -2 \\ x - y = 4 \end{cases}$.
Сложим уравнения: $2x = 2$, откуда $x=1$.
Подставим $x=1$ в первое уравнение: $1+y=-2$, откуда $y=-3$.
Получили решение $(1, -3)$.

Ответ: $(3, -1), (1, -3)$.

4)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} xy + x + y = 11 \\ xy(x+y) = 30 \end{cases}$.
Это симметрическая система. Введем новые переменные: $a = x+y$ и $b = xy$.
Система в новых переменных: $\begin{cases} b + a = 11 \\ b \cdot a = 30 \end{cases}$.
По теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 11t + 30 = 0$.
Находим корни: $t_1 = 5, t_2 = 6$.
Это дает две системы для $a$ и $b$.
а) $a = 5, b = 6$. Возвращаемся к переменным $x, y$: $\begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}$.
$x$ и $y$ являются корнями уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.
Корни: $z_1=2, z_2=3$. Решения: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.
б) $a = 6, b = 5$. Возвращаемся к переменным $x, y$: $\begin{cases} x+y = 6 \\ xy = 5 \end{cases}$.
$x$ и $y$ являются корнями уравнения $z^2 - 6z + 5 = 0$.
Корни: $z_1=1, z_2=5$. Решения: $(1, 5)$ и $(5, 1)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1)$.

5)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} x^2 - 5y^2 = -1 \\ 3xy + 7y^2 = 1 \end{cases}$.
Это система однородных уравнений. Сложим два уравнения, чтобы избавиться от свободных членов:
$(x^2 - 5y^2) + (3xy + 7y^2) = -1 + 1$
$x^2 + 3xy + 2y^2 = 0$
Предположим, что $y \neq 0$ (если $y=0$, то из первого уравнения $x^2=-1$, что не имеет действительных решений). Разделим уравнение на $y^2$:
$(\frac{x}{y})^2 + 3(\frac{x}{y}) + 2 = 0$.
Сделаем замену $t = \frac{x}{y}$: $t^2 + 3t + 2 = 0$.
Корни этого уравнения: $t_1 = -1, t_2 = -2$.
Рассмотрим два случая.
а) $\frac{x}{y} = -1 \implies x = -y$. Подставим во второе исходное уравнение:
$3(-y)y + 7y^2 = 1 \implies -3y^2+7y^2=1 \implies 4y^2=1 \implies y = \pm\frac{1}{2}$.
Если $y=\frac{1}{2}$, то $x=-\frac{1}{2}$. Решение: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.
Если $y=-\frac{1}{2}$, то $x=\frac{1}{2}$. Решение: $(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$.
б) $\frac{x}{y} = -2 \implies x = -2y$. Подставим во второе исходное уравнение:
$3(-2y)y + 7y^2 = 1 \implies -6y^2+7y^2=1 \implies y^2=1 \implies y = \pm 1$.
Если $y=1$, то $x=-2$. Решение: $(-2, 1)$.
Если $y=-1$, то $x=2$. Решение: $(2, -1)$.

Ответ: $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}), (-2, 1), (2, -1)$.

6)

Исходная система уравнений: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^3 - y^3 = 7(x-y) \end{cases}$.
Разложим левые части на множители: $\begin{cases} (x-y)(x+y) = 3 \\ (x-y)(x^2+xy+y^2) = 7(x-y) \end{cases}$.
Из первого уравнения следует, что $x-y \neq 0$. Значит, мы можем разделить второе уравнение на $(x-y)$:
$x^2+xy+y^2 = 7$.
Получаем новую систему: $\begin{cases} x^2 - y^2 = 3 \\ x^2 + xy + y^2 = 7 \end{cases}$.
Вычтем из второго уравнения первое: $(x^2+xy+y^2) - (x^2-y^2) = 7-3$, что дает $xy+2y^2=4$.
Предположим, что $y \neq 0$ (если $y=0$, то $0=4$, что неверно). Выразим $x$ через $y$: $x = \frac{4-2y^2}{y}$.
Подставим это выражение в первое уравнение $x^2-y^2=3$:
$(\frac{4-2y^2}{y})^2 - y^2 = 3$
$\frac{16-16y^2+4y^4}{y^2} - y^2 = 3$
$16-16y^2+4y^4 - y^4 = 3y^2$
$3y^4 - 19y^2 + 16 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Пусть $z = y^2$ ($z \ge 0$).
$3z^2 - 19z + 16 = 0$.
Решаем квадратное уравнение: $z = \frac{19 \pm \sqrt{19^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16}}{2 \cdot 3} = \frac{19 \pm \sqrt{361-192}}{6} = \frac{19 \pm \sqrt{169}}{6} = \frac{19 \pm 13}{6}$.
$z_1 = \frac{19+13}{6} = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$. $z_2 = \frac{19-13}{6} = \frac{6}{6} = 1$.
а) $y^2 = 1 \implies y=\pm 1$.
Если $y=1$, то $x = \frac{4-2(1)^2}{1} = 2$. Решение: $(2, 1)$.
Если $y=-1$, то $x = \frac{4-2(-1)^2}{-1} = -2$. Решение: $(-2, -1)$.
б) $y^2 = \frac{16}{3} \implies y=\pm\frac{4}{\sqrt{3}} = \pm\frac{4\sqrt{3}}{3}$.
Если $y=\frac{4\sqrt{3}}{3}$, то $x = \frac{4-2(16/3)}{4\sqrt{3}/3} = \frac{(12-32)/3}{4\sqrt{3}/3} = \frac{-20/3}{4\sqrt{3}/3} = -\frac{20}{4\sqrt{3}} = -\frac{5}{\sqrt{3}} = -\frac{5\sqrt{3}}{3}$. Решение: $(-\frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3})$.
Если $y=-\frac{4\sqrt{3}}{3}$, то $x = \frac{-20/3}{-4\sqrt{3}/3} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$. Решение: $(\frac{5\sqrt{3}}{3}, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$.

Ответ: $(2, 1), (-2, -1), (-\frac{5\sqrt{3}}{3}, \frac{4\sqrt{3}}{3}), (\frac{5\sqrt{3}}{3}, -\frac{4\sqrt{3}}{3})$.