Номер 3.2, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 3. Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными. Глава I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Часть 1 - номер 3.2, страница 36.

Условие рус.

3.2. Способом подстановки решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 6, \\ x + xy = -4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 9, \\ x + y^2 = 29; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x - y = 1, \\ x^2 - 2y = 26; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - y = -8, \\ x^2 + y = 14; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x - 1 = y^2, \\ y - x + 3 = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 0,5x - 1 = y^2, \\ y + 3x - 7 = 0; \end{cases}$

7) $\begin{cases} xy = -7, \\ y - x - 8 = 0; \end{cases}$

8) $\begin{cases} x + y - 5 = 0, \\ y \cdot x - 6 = 0. \end{cases}$

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - y = 6 \\ x + xy = -4 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 6 + y$.

Подставим полученное выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(6 + y) + (6 + y)y = -4$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$6 + y + 6y + y^2 = -4$

$y^2 + 7y + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета находим корни:

$y_1 = -2$, $y_2 = -5$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$, подставив значения $y$ в выражение $x = 6 + y$:

Если $y_1 = -2$, то $x_1 = 6 + (-2) = 4$.

Если $y_2 = -5$, то $x_2 = 6 + (-5) = 1$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(4; -2)$, $(1; -5)$.

2) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y = 9 \\ x + y^2 = 29 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 9 - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(9 - y) + y^2 = 29$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$y^2 - y + 9 - 29 = 0$

$y^2 - y - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$y_1 = 5$, $y_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 5$, то $x_1 = 9 - 5 = 4$.

Если $y_2 = -4$, то $x_2 = 9 - (-4) = 13$.

Ответ: $(4; 5)$, $(13; -4)$.

3) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - y = 1 \\ x^2 - 2y = 26 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x - 1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 - 2(x - 1) = 26$

$x^2 - 2x + 2 = 26$

$x^2 - 2x - 24 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$x_1 = 6$, $x_2 = -4$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 6$, то $y_1 = 6 - 1 = 5$.

Если $x_2 = -4$, то $y_2 = -4 - 1 = -5$.

Ответ: $(6; 5)$, $(-4; -5)$.

4) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - y = -8 \\ x^2 + y = 14 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x + 8$.

Подставим во второе уравнение:

$x^2 + (x + 8) = 14$

$x^2 + x + 8 - 14 = 0$

$x^2 + x - 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 2 + 8 = 10$.

Если $x_2 = -3$, то $y_2 = -3 + 8 = 5$.

Ответ: $(2; 10)$, $(-3; 5)$.

5) Дана система уравнений: $\begin{cases} x - 1 = y^2 \\ y - x + 3 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 3$.

Подставим в первое уравнение:

$(y + 3) - 1 = y^2$

$y + 2 = y^2$

$y^2 - y - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$y_1 = 2$, $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 + 3 = 2$.

Ответ: $(5; 2)$, $(2; -1)$.

6) Дана система уравнений: $\begin{cases} 0,5x - 1 = y^2 \\ y + 3x - 7 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 7 - 3x$.

Подставим в первое уравнение:

$0,5x - 1 = (7 - 3x)^2$

$0,5x - 1 = 49 - 42x + 9x^2$

$9x^2 - 42x - 0,5x + 49 + 1 = 0$

$9x^2 - 42,5x + 50 = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$18x^2 - 85x + 100 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-85)^2 - 4 \cdot 18 \cdot 100 = 7225 - 7200 = 25$

$\sqrt{D} = 5$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{85 \pm 5}{2 \cdot 18} = \frac{85 \pm 5}{36}$

$x_1 = \frac{85 + 5}{36} = \frac{90}{36} = \frac{5}{2} = 2,5$

$x_2 = \frac{85 - 5}{36} = \frac{80}{36} = \frac{20}{9}$

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2,5$, то $y_1 = 7 - 3 \cdot 2,5 = 7 - 7,5 = -0,5$.

Если $x_2 = \frac{20}{9}$, то $y_2 = 7 - 3 \cdot \frac{20}{9} = 7 - \frac{20}{3} = \frac{21 - 20}{3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $(2,5; -0,5)$, $(\frac{20}{9}; \frac{1}{3})$.

7) Дана система уравнений: $\begin{cases} xy = -7 \\ y - x - 8 = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $y$: $y = x + 8$.

Подставим в первое уравнение:

$x(x + 8) = -7$

$x^2 + 8x + 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$x_1 = -1$, $x_2 = -7$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = -1$, то $y_1 = -1 + 8 = 7$.

Если $x_2 = -7$, то $y_2 = -7 + 8 = 1$.

Ответ: $(-1; 7)$, $(-7; 1)$.

8) Дана система уравнений: $\begin{cases} x + y - 5 = 0 \\ y \cdot x - 6 = 0 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 5 - x$.

Подставим во второе уравнение (учитывая, что $y \cdot x = xy$):

$(5 - x)x = 6$

$5x - x^2 = 6$

$x^2 - 5x + 6 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 3$.

Найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 5 - 2 = 3$.

Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 5 - 3 = 2$.

Ответ: $(2; 3)$, $(3; 2)$.