Вопросы, страница 35, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Будут ли равносильными системы двух уравнений с двумя переменными, если вторая система получена из первой способом умножения или деления уравнений первой системы?

2. Какое уравнение с двумя переменными является однородным уравнением с двумя переменными?

1. Нет, в общем случае системы не будут равносильными. Равносильными называются системы уравнений, множества решений которых совпадают. Умножение или деление уравнений системы друг на друга является неравносильным преобразованием, так как оно может привести к появлению посторонних решений или к потере существующих решений.

Рассмотрим исходную систему уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:

$ \begin{cases} f_1(x, y) = 0 \\ f_2(x, y) = 0 \end{cases} $

Решением этой системы является любая пара $(x, y)$, которая одновременно обращает в верное равенство и первое, и второе уравнение.

Умножение уравнений

Предположим, мы заменяем второе уравнение $f_2(x, y) = 0$ на произведение первого и второго уравнений, получая новую систему:

$ \begin{cases} f_1(x, y) = 0 \\ f_1(x, y) \cdot f_2(x, y) = 0 \end{cases} $

Любое решение исходной системы будет решением и новой системы. Однако новая система может иметь решения, которые не являются решениями исходной. Так как первое уравнение новой системы $f_1(x, y) = 0$, то второе уравнение $f_1(x, y) \cdot f_2(x, y) = 0$ автоматически превращается в $0 \cdot f_2(x, y) = 0$, то есть в тождество $0 = 0$. Это означает, что решением новой системы будет любая пара $(x, y)$, удовлетворяющая первому уравнению $f_1(x, y) = 0$, независимо от того, удовлетворяет ли она второму уравнению $f_2(x, y) = 0$. Таким образом, мы получаем посторонние решения.

Пример:

Исходная система: $ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ y - 3 = 0 \end{cases} $ Эта система имеет единственное решение: $(2, 3)$.

Новая система, полученная умножением: $ \begin{cases} x - 2 = 0 \\ (x - 2)(y - 3) = 0 \end{cases} $ Из первого уравнения следует, что $x = 2$. Подставив это во второе уравнение, получим $(2-2)(y-3)=0$, то есть $0 \cdot (y-3)=0$. Это равенство верно для любого значения $y$. Следовательно, решением новой системы является любая пара вида $(2, y)$, где $y$ — любое действительное число. Множество решений новой системы (прямая линия) шире, чем множество решений исходной (одна точка). Значит, системы не равносильны.

Деление уравнений

При делении одного уравнения на другое, например, при замене $f_2(x, y) = 0$ на $\frac{f_1(x, y)}{f_2(x, y)} = 0$, возникает ограничение: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $f_2(x, y) \neq 0$. Это противоречит самому уравнению $f_2(x, y) = 0$, которое мы делим. Если же делить уравнение $f_1(x, y) = g_1(x, y)$ на $f_2(x, y) = g_2(x, y)$, то мы вводим ограничения $f_2(x, y) \neq 0$ и $g_2(x, y) \neq 0$. Это может привести к потере тех решений исходной системы, для которых эти выражения обращались в ноль.

Пример:

Исходная система: $ \begin{cases} y = x^2 \\ y = x \end{cases} $ Эта система имеет два решения: $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Получим новое уравнение, разделив первое уравнение на второе (почленно): $\frac{y}{y} = \frac{x^2}{x}$. Это преобразование законно только при $y \neq 0$ и $x \neq 0$. Оно дает нам уравнение $1=x$. Составим новую систему: $ \begin{cases} y = x \\ x = 1 \end{cases} $ Эта система имеет единственное решение: $(1, 1)$. Решение $(0, 0)$ было потеряно, так как при выполнении деления мы неявно предположили, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Следовательно, системы не равносильны.

Ответ: Нет, системы, полученные умножением или делением уравнений, в общем случае не будут равносильны исходным, так как умножение может привести к появлению посторонних решений, а деление — к потере решений.

2. Уравнение с двумя переменными $x$ и $y$ вида $P(x, y) = 0$ называется однородным, если функция $P(x, y)$ является однородной функцией. Функция $P(x, y)$ называется однородной степени $k$, если для любого действительного числа $t \neq 0$ выполняется тождество:

$P(tx, ty) = t^k P(x, y)$

На практике, когда речь идет об алгебраических уравнениях, однородным уравнением называют такое уравнение $P(x, y) = 0$, где $P(x, y)$ — многочлен (полином), у которого все его члены (одночлены) имеют одну и ту же степень. Степенью одночлена $a x^n y^m$ называется сумма показателей степеней переменных, то есть $n+m$.

Ключевая особенность геометрического смысла однородных уравнений: если пара чисел $(x_0, y_0)$ является решением однородного уравнения, то и любая пара вида $(tx_0, ty_0)$ для любого $t$ также будет его решением. Это означает, что множество решений (если оно непустое) представляет собой набор прямых, проходящих через начало координат.

Примеры однородных уравнений:

• $2x - 3y = 0$ — однородное уравнение 1-й степени. Степень члена $2x$ равна 1, степень члена $-3y$ равна 1.
• $x^2 + 5xy - 4y^2 = 0$ — однородное уравнение 2-й степени. Степени членов $x^2$, $5xy$ ($1+1=2$) и $-4y^2$ равны 2.
• $x^3 - 7x^2y + y^3 = 0$ — однородное уравнение 3-й степени. Степени всех членов равны 3.

Примеры уравнений, не являющихся однородными:

• $x^2 + y = 0$ — не является однородным, так как степень члена $x^2$ равна 2, а степень члена $y$ равна 1.
• $x + y = 1$ — не является однородным, так как свободный член 1 можно рассматривать как $1 \cdot x^0 y^0$, его степень равна 0, в то время как степени членов $x$ и $y$ равны 1.

Ответ: Однородное уравнение с двумя переменными — это уравнение вида $P(x, y) = 0$, где $P(x, y)$ — многочлен, все члены которого имеют одинаковую суммарную степень переменных.