Номер 3.4, страница 36, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.4. Найдите решение системы:

1) $\begin{cases} x^2 + y^2 = x - y, \\ 2y - 3x + 5 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} 2x^2 - 3y^2 + 6 - y = 0, \\ 2y - 3x + 2 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - y^2 - x - y = 0, \\ 2x + 3y - 1 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - y^2 = xy + 19, \\ y - x + 7 = 0. \end{cases}$

1) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}x^2 + y^2 = x - y, \\2y - 3x + 5 = 0;\end{cases}$
Это система, состоящая из уравнения второй степени и линейного уравнения. Для ее решения используем метод подстановки.
Из второго уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$2y = 3x - 5 \implies y = \frac{3x - 5}{2}$.
Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:
$x^2 + \left(\frac{3x - 5}{2}\right)^2 = x - \left(\frac{3x - 5}{2}\right)$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$x^2 + \frac{(3x-5)^2}{4} = \frac{2x - (3x - 5)}{2}$
$x^2 + \frac{9x^2 - 30x + 25}{4} = \frac{2x - 3x + 5}{2}$
$x^2 + \frac{9x^2 - 30x + 25}{4} = \frac{-x + 5}{2}$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателей:
$4x^2 + (9x^2 - 30x + 25) = 2(-x + 5)$
$4x^2 + 9x^2 - 30x + 25 = -2x + 10$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$13x^2 - 30x + 2x + 25 - 10 = 0$
$13x^2 - 28x + 15 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-28)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 15 = 784 - 780 = 4 = 2^2$.
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{-(-28) + \sqrt{4}}{2 \cdot 13} = \frac{28 + 2}{26} = \frac{30}{26} = \frac{15}{13}$.
$x_2 = \frac{-(-28) - \sqrt{4}}{2 \cdot 13} = \frac{28 - 2}{26} = \frac{26}{26} = 1$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные $x$ в выражение $y = \frac{3x - 5}{2}$:
Для $x_1 = \frac{15}{13}$:
$y_1 = \frac{3 \cdot \frac{15}{13} - 5}{2} = \frac{\frac{45}{13} - \frac{65}{13}}{2} = \frac{-\frac{20}{13}}{2} = -\frac{10}{13}$.
Для $x_2 = 1$:
$y_2 = \frac{3 \cdot 1 - 5}{2} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(1, -1)$, $(\frac{15}{13}, -\frac{10}{13})$.

2) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}2x^2 - 3y^2 + 6 - y = 0, \\2y - 3x + 2 = 0;\end{cases}$
Используем метод подстановки. Из второго линейного уравнения выразим $y$ через $x$:
$2y = 3x - 2 \implies y = \frac{3x - 2}{2}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$2x^2 - 3\left(\frac{3x - 2}{2}\right)^2 + 6 - \left(\frac{3x - 2}{2}\right) = 0$
Упростим полученное уравнение:
$2x^2 - 3\frac{9x^2 - 12x + 4}{4} + 6 - \frac{3x - 2}{2} = 0$
Умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от дробей:
$8x^2 - 3(9x^2 - 12x + 4) + 24 - 2(3x - 2) = 0$
$8x^2 - 27x^2 + 36x - 12 + 24 - 6x + 4 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-19x^2 + 30x + 16 = 0$
Умножим на -1 для удобства:
$19x^2 - 30x - 16 = 0$
Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-30)^2 - 4 \cdot 19 \cdot (-16) = 900 + 1216 = 2116 = 46^2$.
Найдем корни уравнения для $x$:
$x_1 = \frac{30 + 46}{2 \cdot 19} = \frac{76}{38} = 2$.
$x_2 = \frac{30 - 46}{2 \cdot 19} = \frac{-16}{38} = -\frac{8}{19}$.
Найдем соответствующие значения $y$, используя $y = \frac{3x - 2}{2}$:
Для $x_1 = 2$:
$y_1 = \frac{3 \cdot 2 - 2}{2} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
Для $x_2 = -\frac{8}{19}$:
$y_2 = \frac{3 \cdot (-\frac{8}{19}) - 2}{2} = \frac{-\frac{24}{19} - \frac{38}{19}}{2} = \frac{-\frac{62}{19}}{2} = -\frac{31}{19}$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(2, 2)$, $(-\frac{8}{19}, -\frac{31}{19})$.

3) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}x^2 - y^2 - x - y = 0, \\2x + 3y - 1 = 0;\end{cases}$
Преобразуем первое уравнение. Сгруппируем слагаемые и применим формулу разности квадратов:
$(x^2 - y^2) - (x + y) = 0$
$(x - y)(x + y) - (x + y) = 0$
Вынесем общий множитель $(x+y)$ за скобки:
$(x + y)(x - y - 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум случаям.
Случай 1: $x + y = 0 \implies y = -x$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2x + 3(-x) - 1 = 0$
$2x - 3x - 1 = 0$
$-x - 1 = 0 \implies x = -1$.
Тогда $y = -(-1) = 1$.
Получили первое решение: $(-1, 1)$.
Случай 2: $x - y - 1 = 0 \implies y = x - 1$.
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$2x + 3(x - 1) - 1 = 0$
$2x + 3x - 3 - 1 = 0$
$5x - 4 = 0 \implies x = \frac{4}{5}$.
Тогда $y = \frac{4}{5} - 1 = -\frac{1}{5}$.
Получили второе решение: $(\frac{4}{5}, -\frac{1}{5})$.
Ответ: $(-1, 1)$, $(\frac{4}{5}, -\frac{1}{5})$.

4) Решим систему уравнений:
$\begin{cases}x^2 - y^2 = xy + 19, \\y - x + 7 = 0.\end{cases}$
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $y$:
$y = x - 7$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 - (x - 7)^2 = x(x - 7) + 19$
Раскроем скобки и упростим:
$x^2 - (x^2 - 14x + 49) = x^2 - 7x + 19$
$x^2 - x^2 + 14x - 49 = x^2 - 7x + 19$
$14x - 49 = x^2 - 7x + 19$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$0 = x^2 - 7x - 14x + 19 + 49$
$x^2 - 21x + 68 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 68 = 441 - 272 = 169 = 13^2$.
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{21 + 13}{2} = \frac{34}{2} = 17$.
$x_2 = \frac{21 - 13}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x - 7$:
Для $x_1 = 17$:
$y_1 = 17 - 7 = 10$.
Для $x_2 = 4$:
$y_2 = 4 - 7 = -3$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(17, 10)$, $(4, -3)$.