Номер 3.10, страница 37, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.10. Решите графическим способом и способом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} xy = 1, \\ y = x^2; \end{cases}$ 2) $\begin{cases} x - y = 4, \\ x^2 + y^2 = 16; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x + 2y = 5, \\ y = x^2 + 1; \end{cases}$ 4) $\begin{cases} x - y = 2, \\ y = 0,5x^2 - 2. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} xy = 1 \\ y = x^2 \end{cases} $

Решение способом подстановки:
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения ($y = x^2$) в первое уравнение системы:
$x \cdot (x^2) = 1$
$x^3 = 1$
Из этого уравнения находим единственное действительное решение для $x$:
$x = \sqrt[3]{1} = 1$
Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x=1$ во второе уравнение:
$y = 1^2 = 1$
Таким образом, решение системы — точка $(1, 1)$.

Решение графическим способом:
Для решения системы графическим методом построим графики функций, соответствующих каждому уравнению, в одной системе координат.
Первое уравнение $xy=1$ эквивалентно функции $y = 1/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
Второе уравнение $y = x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх.
Координаты точек пересечения графиков являются решениями системы.

Графики функций пересекаются в одной точке с координатами $(1, 1)$.

Ответ: $(1, 1)$.

2)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 + y^2 = 16 \end{cases} $

Решение способом подстановки:
Выразим $x$ из первого уравнения:
$x = y + 4$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 4)^2 + y^2 = 16$
Раскроем скобки и упростим уравнение:
$y^2 + 8y + 16 + y^2 = 16$
$2y^2 + 8y = 0$
Вынесем общий множитель $2y$ за скобки:
$2y(y + 4) = 0$
Это уравнение имеет два корня:
$y_1 = 0$ или $y_2 = -4$
Теперь найдем соответствующие значения $x$:
При $y_1 = 0$, $x_1 = 0 + 4 = 4$. Получаем решение $(4, 0)$.
При $y_2 = -4$, $x_2 = -4 + 4 = 0$. Получаем решение $(0, -4)$.

Решение графическим способом:
Первое уравнение $x - y = 4$ можно записать как $y = x - 4$. Это уравнение прямой линии.
Второе уравнение $x^2 + y^2 = 16$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0,0)$ и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.
Построим графики прямой и окружности и найдем их точки пересечения.

Графики пересекаются в двух точках с координатами $(4, 0)$ и $(0, -4)$.

Ответ: $(4, 0), (0, -4)$.

3)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x + 2y = 5 \\ y = x^2 + 1 \end{cases} $

Решение способом подстановки:
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x + 2(x^2 + 1) = 5$
Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x + 2x^2 + 2 = 5$
$2x^2 + x - 3 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm 5}{4}$
Находим два корня для $x$:
$x_1 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$x_2 = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1,5$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя уравнение $y = x^2 + 1$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 1^2 + 1 = 2$. Решение: $(1, 2)$.
При $x_2 = -1,5$, $y_2 = (-1,5)^2 + 1 = 2,25 + 1 = 3,25$. Решение: $(-1,5; 3,25)$.

Решение графическим способом:
Первое уравнение $x + 2y = 5$ преобразуем к виду $y = -0,5x + 2,5$. Это уравнение прямой линии.
Второе уравнение $y = x^2 + 1$ — это парабола, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY, с вершиной в точке $(0,1)$.
Построим графики и найдем точки их пересечения.

Графики пересекаются в двух точках с координатами $(1, 2)$ и $(-1,5; 3,25)$.

Ответ: $(1, 2), (-1,5; 3,25)$.

4)

Дана система уравнений:$ \begin{cases} x - y = 2 \\ y = 0,5x^2 - 2 \end{cases} $

Решение способом подстановки:
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = x - 2$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x - 2 = 0,5x^2 - 2$
Перенесем все члены в одну сторону:
$0,5x^2 - x = 0$
Вынесем $x$ за скобки:
$x(0,5x - 1) = 0$
Получаем два возможных значения для $x$:
$x_1 = 0$ или $0,5x_2 - 1 = 0 \implies 0,5x_2 = 1 \implies x_2 = 2$
Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = x - 2$:
При $x_1 = 0$, $y_1 = 0 - 2 = -2$. Решение: $(0, -2)$.
При $x_2 = 2$, $y_2 = 2 - 2 = 0$. Решение: $(2, 0)$.

Решение графическим способом:
Первое уравнение $x - y = 2$ представим в виде $y = x - 2$. Это прямая линия.
Второе уравнение $y = 0,5x^2 - 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вверх.
Построим графики и найдем их точки пересечения.

Графики пересекаются в двух точках с координатами $(0, -2)$ и $(2, 0)$.

Ответ: $(0, -2), (2, 0)$.