Номер 3.14, страница 38, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.14. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + z^2 = 5, \\ x^4 - z^4 = 15; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^4 + x^2 z^2 = 90, \\ x^2 + z^2 = 10; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - z^2 = 3, \\ x^4 - z^4 = 15; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} zx^2 + z^3 = 5, \\ x^3 + xz^2 = 10. \end{cases} $

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + z^2 = 5, \\ x^4 - z^4 = 15; \end{cases} $

Второе уравнение можно разложить на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = x^2$ и $b = z^2$:

$x^4 - z^4 = (x^2)^2 - (z^2)^2 = (x^2 - z^2)(x^2 + z^2) = 15.$

Из первого уравнения системы мы знаем, что $x^2 + z^2 = 5$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$(x^2 - z^2) \cdot 5 = 15.$

Отсюда находим выражение для $x^2 - z^2$:

$x^2 - z^2 = \frac{15}{5} = 3.$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений относительно $x^2$ и $z^2$:

$ \begin{cases} x^2 + z^2 = 5, \\ x^2 - z^2 = 3. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x^2 + z^2) + (x^2 - z^2) = 5 + 3$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$

Подставим значение $x^2 = 4$ в первое уравнение исходной системы:

$4 + z^2 = 5$

$z^2 = 1 \implies z = \pm 1.$

Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^4 + x^2 z^2 = 90, \\ x^2 + z^2 = 10; \end{cases} $

В первом уравнении вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:

$x^2(x^2 + z^2) = 90.$

Из второго уравнения мы знаем, что $x^2 + z^2 = 10$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$x^2 \cdot 10 = 90.$

Отсюда находим $x^2$:

$x^2 = \frac{90}{10} = 9 \implies x = \pm 3.$

Теперь подставим значение $x^2 = 9$ во второе уравнение системы:

$9 + z^2 = 10$

$z^2 = 10 - 9 = 1 \implies z = \pm 1.$

Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(3, 1)$, $(3, -1)$, $(-3, 1)$, $(-3, -1)$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - z^2 = 3, \\ x^4 - z^4 = 15; \end{cases} $

Разложим второе уравнение на множители по формуле разности квадратов:

$x^4 - z^4 = (x^2 - z^2)(x^2 + z^2) = 15.$

Из первого уравнения системы известно, что $x^2 - z^2 = 3$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$3 \cdot (x^2 + z^2) = 15.$

Отсюда находим выражение для $x^2 + z^2$:

$x^2 + z^2 = \frac{15}{3} = 5.$

Получаем систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - z^2 = 3, \\ x^2 + z^2 = 5. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения:

$(x^2 - z^2) + (x^2 + z^2) = 3 + 5$

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4 \implies x = \pm 2.$

Подставим значение $x^2 = 4$ в уравнение $x^2 + z^2 = 5$:

$4 + z^2 = 5$

$z^2 = 1 \implies z = \pm 1.$

Таким образом, получаем четыре пары решений.

Ответ: $(2, 1)$, $(2, -1)$, $(-2, 1)$, $(-2, -1)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} zx^2 + z^3 = 5, \\ x^3 + xz^2 = 10. \end{cases} $

Вынесем общие множители в каждом уравнении:

$ \begin{cases} z(x^2 + z^2) = 5, \\ x(x^2 + z^2) = 10. \end{cases} $

Заметим, что $x^2 + z^2 \neq 0$, так как в противном случае правые части уравнений были бы равны нулю. Также $z \neq 0$ и $x \neq 0$.

Разделим второе уравнение на первое:

$\frac{x(x^2 + z^2)}{z(x^2 + z^2)} = \frac{10}{5}.$

Сократив $x^2 + z^2$, получим:

$\frac{x}{z} = 2 \implies x = 2z.$

Подставим выражение $x = 2z$ во второе уравнение исходной системы:

$(2z)^3 + (2z)z^2 = 10$

$8z^3 + 2z^3 = 10$

$10z^3 = 10$

$z^3 = 1.$

В действительных числах это уравнение имеет единственный корень $z = 1$.

Теперь найдем $x$:

$x = 2z = 2 \cdot 1 = 2.$

Получили единственное действительное решение.

Ответ: $(2, 1)$.