Номер 3.37, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.37.1)

$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 12, \\ xy + xz + yz = 12; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 3, \\ x + z + y = 3; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 108, \\ x + z + y = 18. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 = 12 \\xy + xz + yz = 12\end{cases}$
Поскольку правые части уравнений равны, мы можем приравнять их левые части:$x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$
Перенесем все члены в левую часть:$x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz = 0$
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы сгруппировать члены в полные квадраты:$2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2xz - 2yz = 0$
Сгруппируем члены:$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 - 2xz + z^2) + (y^2 - 2yz + z^2) = 0$
Это можно записать в виде суммы квадратов:$(x - y)^2 + (x - z)^2 + (y - z)^2 = 0$
Сумма квадратов действительных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждый из членов равен нулю.$x - y = 0 \implies x = y$
$x - z = 0 \implies x = z$
$y - z = 0 \implies y = z$
Следовательно, $x = y = z$.
Подставим это равенство в первое уравнение системы:$x^2 + x^2 + x^2 = 12$
$3x^2 = 12$
$x^2 = 4$
$x = \pm 2$
Таким образом, мы получаем два набора решений:
1. $x = y = z = 2$
2. $x = y = z = -2$
Проверим оба решения.
Для $(2, 2, 2)$:$2^2 + 2^2 + 2^2 = 4 + 4 + 4 = 12$
$2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 = 4 + 4 + 4 = 12$
Решение верное.
Для $(-2, -2, -2)$:$(-2)^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = 4 + 4 + 4 = 12$
$(-2)(-2) + (-2)(-2) + (-2)(-2) = 4 + 4 + 4 = 12$
Решение верное.
Ответ: $(2, 2, 2)$, $(-2, -2, -2)$.

2) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 = 3 \\x + y + z = 3\end{cases}$
Это симметрическая система. Воспользуемся известным тождеством: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+xz+yz)$.
Подставим в это тождество значения из системы:$3^2 = 3 + 2(xy+xz+yz)$
$9 = 3 + 2(xy+xz+yz)$
$6 = 2(xy+xz+yz)$
$xy+xz+yz = 3$
Теперь мы видим, что $x^2+y^2+z^2 = 3$ и $xy+xz+yz = 3$. Приравняем левые части:$x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$
Как и в предыдущей задаче, это уравнение эквивалентно:$(x - y)^2 + (x - z)^2 + (y - z)^2 = 0$
Это означает, что $x = y = z$.
Подставим это равенство во второе уравнение исходной системы:$x + x + x = 3$
$3x = 3$
$x = 1$
Следовательно, единственное решение системы — $x=y=z=1$.
Проверим решение:$1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$
$1 + 1 + 1 = 3$
Оба уравнения удовлетворяются.
Ответ: $(1, 1, 1)$.

3) Дана система уравнений:$\begin{cases}x^2 + y^2 + z^2 = 108 \\x + y + z = 18\end{cases}$
Эта система аналогична предыдущей. Воспользуемся тождеством: $(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+xz+yz)$.
Подставим известные значения:$18^2 = 108 + 2(xy+xz+yz)$
$324 = 108 + 2(xy+xz+yz)$
$324 - 108 = 2(xy+xz+yz)$
$216 = 2(xy+xz+yz)$
$xy+xz+yz = 108$
Мы получили, что $x^2+y^2+z^2 = 108$ и $xy+xz+yz = 108$.
Приравнивая левые части, получаем:$x^2 + y^2 + z^2 = xy + xz + yz$
Это уравнение, как мы уже показывали, приводит к выводу, что $x=y=z$.
Подставим это условие во второе уравнение исходной системы:$x + x + x = 18$
$3x = 18$
$x = 6$
Следовательно, единственное решение системы — $x=y=z=6$.
Проверим это решение:$6^2 + 6^2 + 6^2 = 36 + 36 + 36 = 108$
$6 + 6 + 6 = 18$
Оба уравнения выполняются.
Ответ: $(6, 6, 6)$.