Номер 3.44, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.44. 1) В коробке лежат несколько одинаковых пачек печенья. Если из коробки вынуть 7 пачек печенья, то в ней останется $ \frac{1}{4} $ от всего числа пачек, которое в ней может поместиться. Если же добавить $ \frac{3}{4} $ от имеющегося числа пачек, то одна пачка не поместится. Сколько пачек печенья лежит в коробке?

2) В ведре было несколько литров воды. Если отлить половину всей воды, то там останется на 7 л воды меньше, чем помещается в ведро. Если же добавить 2 л воды, то количество литров воды составит $ \frac{2}{3} $ от вместимости ведра. Сколько литров воды вмещается в ведро?

1) Обозначим за $x$ количество пачек печенья, которое лежит в коробке, а за $y$ — общее количество пачек, которое может поместиться в коробке (вместимость).
Исходя из первого условия, если из коробки вынуть 7 пачек, то в ней останется $\frac{1}{4}$ от всего числа пачек, которое в ней может поместиться. Это можно записать в виде уравнения:
$x - 7 = \frac{1}{4}y$
Исходя из второго условия, если добавить $\frac{3}{4}$ от имеющегося числа пачек, то одна пачка не поместится. Это означает, что новое количество пачек будет на 1 больше, чем вместимость коробки. Составим второе уравнение:
$x + \frac{3}{4}x = y + 1$
Упростим второе уравнение:
$\frac{4}{4}x + \frac{3}{4}x = y + 1$
$\frac{7}{4}x = y + 1$
Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $x - 7 = \frac{1}{4}y$
2) $\frac{7}{4}x = y + 1$
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = 4(x - 7) = 4x - 28$
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$\frac{7}{4}x = (4x - 28) + 1$
$\frac{7}{4}x = 4x - 27$
Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:
$7x = 4(4x - 27)$
$7x = 16x - 108$
Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону:
$16x - 7x = 108$
$9x = 108$
$x = \frac{108}{9}$
$x = 12$
Таким образом, в коробке лежит 12 пачек печенья.
Ответ: 12 пачек.

2) Обозначим за $w$ количество литров воды, которое было в ведре, а за $c$ — вместимость ведра в литрах.
Из первого условия, если отлить половину всей воды ($\frac{w}{2}$), то в ведре останется на 7 литров воды меньше, чем помещается в ведро. Это можно записать в виде уравнения:
$\frac{w}{2} = c - 7$
Из второго условия, если добавить 2 л воды, то количество литров воды составит $\frac{2}{3}$ от вместимости ведра. Составим второе уравнение:
$w + 2 = \frac{2}{3}c$
Получили систему из двух уравнений:
1) $\frac{w}{2} = c - 7$
2) $w + 2 = \frac{2}{3}c$
Из первого уравнения выразим $w$:
$w = 2(c - 7) = 2c - 14$
Подставим это выражение для $w$ во второе уравнение:
$(2c - 14) + 2 = \frac{2}{3}c$
$2c - 12 = \frac{2}{3}c$
Перенесем все слагаемые с $c$ в левую часть уравнения, а числа — в правую:
$2c - \frac{2}{3}c = 12$
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{6}{3}c - \frac{2}{3}c = 12$
$\frac{4}{3}c = 12$
Теперь найдем $c$:
$c = 12 \cdot \frac{3}{4}$
$c = \frac{12 \cdot 3}{4} = 3 \cdot 3 = 9$
Таким образом, вместимость ведра составляет 9 литров.
Ответ: 9 литров.