Номер 4.2, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.2. 1) Найдите два натуральных числа, если их среднее арифметическое равно 35, а их среднее геометрическое равно 28.

2) Найдите два натуральных числа, если их среднее арифметическое равно 61, а их среднее геометрическое равно 60.

1)

Пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$.

По определению, среднее арифметическое двух чисел равно их полусумме, а среднее геометрическое — корню из их произведения. Согласно условию задачи, можно составить систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{a+b}{2} = 35 \\ \sqrt{ab} = 28 \end{cases}$

Преобразуем систему, чтобы найти сумму и произведение чисел $a$ и $b$:

$\begin{cases} a+b = 2 \cdot 35 = 70 \\ ab = 28^2 = 784 \end{cases}$

Числа $a$ и $b$ можно рассматривать как корни квадратного уравнения, используя обратную теорему Виета. Если $t_1$ и $t_2$ — корни уравнения $t^2 + pt + q = 0$, то $t_1+t_2 = -p$ и $t_1t_2 = q$. В нашем случае уравнение будет иметь вид $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

Подставим найденные значения суммы и произведения:

$t^2 - 70t + 784 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 784 = 4900 - 3136 = 1764$

Так как $\sqrt{1764} = 42$, найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{70 + 42}{2} = \frac{112}{2} = 56$

$t_2 = \frac{70 - 42}{2} = \frac{28}{2} = 14$

Следовательно, искомые натуральные числа — это 14 и 56.

Ответ: 14 и 56.

2)

Аналогично первому пункту, пусть искомые натуральные числа — это $a$ и $b$.

Составим систему уравнений на основе условия, что их среднее арифметическое равно 61, а среднее геометрическое равно 60:

$\begin{cases} \frac{a+b}{2} = 61 \\ \sqrt{ab} = 60 \end{cases}$

Из системы находим сумму и произведение чисел:

$\begin{cases} a+b = 2 \cdot 61 = 122 \\ ab = 60^2 = 3600 \end{cases}$

Числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (a+b)t + ab = 0$.

Подставим известные значения:

$t^2 - 122t + 3600 = 0$

Решим это уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = (-122)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3600 = 14884 - 14400 = 484$

Так как $\sqrt{484} = 22$, найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{122 + 22}{2} = \frac{144}{2} = 72$

$t_2 = \frac{122 - 22}{2} = \frac{100}{2} = 50$

Таким образом, искомые натуральные числа — это 50 и 72.

Ответ: 50 и 72.