Номер 4.7, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.7. 1) Из пунктов A и B, длина пути между которыми по шоссе равна 80 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Один из них прибыл в пункт A через 20 мин после встречи, второй — в пункт B через 45 мин после встречи. Найдите скорость каждого автомобиля.

2) Из двух железнодорожных станций, длина пути между которыми равна 270 км, одновременно навстречу друг другу отправляются два поезда и встречаются через 3 ч. На станцию назначения один поезд прибывает на 1 ч 21 мин раньше, чем другой. Найдите скорости поездов.

1)

Пусть $v_1$ (в км/ч) — скорость автомобиля, выехавшего из пункта А, а $v_2$ (в км/ч) — скорость автомобиля, выехавшего из пункта В. Пусть автомобили встретились в пункте С через $t$ часов после выезда.

Расстояние от А до В равно $S = 80$ км. До места встречи С первый автомобиль проехал расстояние $S_{AC} = v_1 t$, а второй — $S_{BC} = v_2 t$. Вместе они проехали все расстояние: $S_{AC} + S_{BC} = S$, то есть $v_1 t + v_2 t = 80$.

После встречи первому автомобилю (который ехал из А в В) осталось проехать расстояние $S_{BC}$, и он сделал это за 45 минут. Второй автомобиль (который ехал из В в А) проехал оставшееся расстояние $S_{AC}$ за 20 минут.

Переведем время в часы:

$t_1 = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = \frac{3}{4} \text{ ч}$

$t_2 = 20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$

Теперь мы можем выразить расстояния $S_{AC}$ и $S_{BC}$ через скорости и время, затраченное после встречи:

$S_{BC} = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot \frac{3}{4}$

$S_{AC} = v_2 \cdot t_2 = v_2 \cdot \frac{1}{3}$

Теперь приравняем выражения для расстояний, полученные до и после встречи:

$v_2 t = v_1 \cdot \frac{3}{4}$

$v_1 t = v_2 \cdot \frac{1}{3}$

Выразим $t$ из обоих уравнений:

$t = \frac{3v_1}{4v_2}$ и $t = \frac{v_2}{3v_1}$

Приравняем правые части:

$\frac{3v_1}{4v_2} = \frac{v_2}{3v_1}$

$9v_1^2 = 4v_2^2$

Так как скорости положительны, извлекаем квадратный корень: $3v_1 = 2v_2$, откуда $v_2 = \frac{3}{2}v_1 = 1.5v_1$.

Теперь используем условие, что полное расстояние равно 80 км:

$S = S_{AC} + S_{BC} = v_2 \cdot \frac{1}{3} + v_1 \cdot \frac{3}{4} = 80$

Подставим выражение для $v_2$ в это уравнение:

$(\frac{3}{2}v_1) \cdot \frac{1}{3} + v_1 \cdot \frac{3}{4} = 80$

$\frac{1}{2}v_1 + \frac{3}{4}v_1 = 80$

$\frac{2}{4}v_1 + \frac{3}{4}v_1 = 80$

$\frac{5}{4}v_1 = 80$

$v_1 = 80 \cdot \frac{4}{5} = 16 \cdot 4 = 64$ (км/ч)

Теперь найдем скорость второго автомобиля:

$v_2 = 1.5 \cdot v_1 = 1.5 \cdot 64 = 96$ (км/ч)

Таким образом, скорость одного автомобиля 64 км/ч, а другого — 96 км/ч.

Ответ: Скорость одного автомобиля 64 км/ч, скорость второго автомобиля 96 км/ч.

2)

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго поездов соответственно (в км/ч). Общее расстояние между станциями $S = 270$ км.

Поезда движутся навстречу друг другу и встречаются через 3 часа. Их скорость сближения равна $v_1 + v_2$. За 3 часа они вместе проходят все расстояние:

$(v_1 + v_2) \cdot 3 = 270$

Отсюда получаем первое уравнение:

$v_1 + v_2 = 90$

Пусть первый поезд отправился со станции А, а второй — со станции В. Место их встречи — точка С. Расстояния, которые они проехали до встречи:

$S_{AC} = v_1 \cdot 3 = 3v_1$

$S_{BC} = v_2 \cdot 3 = 3v_2$

После встречи первому поезду осталось проехать расстояние $S_{BC}$, а второму — $S_{AC}$. Время, которое они на это затратили:

Время первого поезда до станции В: $t_1 = \frac{S_{BC}}{v_1} = \frac{3v_2}{v_1}$

Время второго поезда до станции А: $t_2 = \frac{S_{AC}}{v_2} = \frac{3v_1}{v_2}$

Один поезд прибывает на 1 ч 21 мин раньше другого. Переведем это время в часы:

$1 \text{ ч } 21 \text{ мин} = 1 + \frac{21}{60} \text{ ч} = 1 + \frac{7}{20} \text{ ч} = \frac{27}{20} \text{ ч}$

Разница во времени прибытия составляет $|t_1 - t_2| = \frac{27}{20}$. Допустим, $v_1 > v_2$, тогда $t_2 > t_1$.

$t_2 - t_1 = \frac{3v_1}{v_2} - \frac{3v_2}{v_1} = \frac{27}{20}$

$3 \left( \frac{v_1}{v_2} - \frac{v_2}{v_1} \right) = \frac{27}{20}$

$\frac{v_1}{v_2} - \frac{v_2}{v_1} = \frac{9}{20}$

Сделаем замену: пусть $x = \frac{v_1}{v_2}$. Тогда уравнение примет вид:

$x - \frac{1}{x} = \frac{9}{20}$

Умножим обе части на $20x$ (так как $x > 0$):

$20x^2 - 20 = 9x$

$20x^2 - 9x - 20 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 20 \cdot (-20) = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$.

$x = \frac{9 \pm \sqrt{1681}}{2 \cdot 20} = \frac{9 \pm 41}{40}$

Поскольку отношение скоростей $x$ должно быть положительным, выбираем корень со знаком плюс:

$x = \frac{9+41}{40} = \frac{50}{40} = \frac{5}{4}$

Итак, $\frac{v_1}{v_2} = \frac{5}{4}$, откуда $v_1 = \frac{5}{4}v_2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 90 \\ v_1 = \frac{5}{4}v_2 \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$\frac{5}{4}v_2 + v_2 = 90$

$\frac{9}{4}v_2 = 90$

$v_2 = 90 \cdot \frac{4}{9} = 10 \cdot 4 = 40$ (км/ч)

Найдем скорость первого поезда:

$v_1 = 90 - v_2 = 90 - 40 = 50$ (км/ч)

Ответ: Скорость одного поезда 50 км/ч, скорость другого поезда 40 км/ч.