Номер 4.3, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.3. 1) Длина пути между двумя пристанями по реке равна 60 км. Теплоход проходит этот путь по течению реки и против течения реки за 5,5 ч. Найдите скорость теплохода в стоячей воде и скорость течения реки, если скорость течения реки на 20 км/ч меньше скорости теплохода в стоячей воде.

2) Катер шел 3 ч по течению реки и 2 ч против течения реки и прошел путь длиной 88 км. Найдите скорость течения реки и скорость катера в стоячей воде, если по течению он прошел на 32 км пути больше, чем против течения.

1)

Пусть $x$ км/ч — скорость теплохода в стоячей воде, а $y$ км/ч — скорость течения реки.

Тогда скорость теплохода по течению реки равна $(x + y)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - y)$ км/ч.

Время, затраченное на путь по течению, составляет $t_1 = \frac{60}{x+y}$ ч.

Время, затраченное на путь против течения, составляет $t_2 = \frac{60}{x-y}$ ч.

Общее время в пути равно 5,5 ч, следовательно, можно составить первое уравнение:

$\frac{60}{x+y} + \frac{60}{x-y} = 5.5$

По условию задачи, скорость течения реки на 20 км/ч меньше скорости теплохода в стоячей воде. Это дает нам второе уравнение:

$y = x - 20$

Подставим второе уравнение в выражения для скоростей:

Скорость по течению: $x + y = x + (x - 20) = 2x - 20$

Скорость против течения: $x - y = x - (x - 20) = x - x + 20 = 20$

Теперь подставим эти выражения в первое уравнение:

$\frac{60}{2x-20} + \frac{60}{20} = 5.5$

Решим полученное уравнение:

$\frac{60}{2x-20} + 3 = 5.5$

$\frac{60}{2x-20} = 5.5 - 3$

$\frac{60}{2x-20} = 2.5$

$60 = 2.5 \cdot (2x - 20)$

$60 = 5x - 50$

$5x = 110$

$x = \frac{110}{5}$

$x = 22$

Скорость теплохода в стоячей воде равна 22 км/ч.

Теперь найдем скорость течения реки:

$y = x - 20 = 22 - 20 = 2$

Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: скорость теплохода в стоячей воде — 22 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.

2)

Пусть $x$ км/ч — скорость катера в стоячей воде, а $y$ км/ч — скорость течения реки.

Скорость катера по течению: $(x + y)$ км/ч.

Скорость катера против течения: $(x - y)$ км/ч.

За 3 часа по течению катер прошел путь $S_1 = 3(x+y)$ км.

За 2 часа против течения катер прошел путь $S_2 = 2(x-y)$ км.

Общий путь равен 88 км, что дает нам первое уравнение:

$S_1 + S_2 = 88$

$3(x+y) + 2(x-y) = 88$

По течению он прошел на 32 км больше, чем против течения. Это дает нам второе уравнение:

$S_1 - S_2 = 32$

$3(x+y) - 2(x-y) = 32$

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 3(x+y) + 2(x-y) = 88 \\ 3(x+y) - 2(x-y) = 32 \end{cases}$

Раскроем скобки в каждом уравнении:

$\begin{cases} 3x + 3y + 2x - 2y = 88 \\ 3x + 3y - 2x + 2y = 32 \end{cases}$

Приведем подобные слагаемые:

$\begin{cases} 5x + y = 88 \\ x + 5y = 32 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 88 - 5x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x + 5(88 - 5x) = 32$

$x + 440 - 25x = 32$

$-24x = 32 - 440$

$-24x = -408$

$x = \frac{-408}{-24}$

$x = 17$

Скорость катера в стоячей воде равна 17 км/ч.

Теперь найдем скорость течения реки, подставив значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 88 - 5x = 88 - 5 \cdot 17 = 88 - 85 = 3$

Скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: скорость катера в стоячей воде — 17 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч.