Номер 4.1, страница 49, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.1. 1) Значение суммы длин радиусов двух кругов равно 14 см, а значение разности площадей этих кругов равно $28\pi\text{см}^2$. Найдите длины радиусов кругов.

2) Значение суммы квадратов двух положительных чисел равно 202, а значение разности квадратов этих чисел равно 40. Найдите эти числа.

3) (Задача Диофанта, III в.) Найдите два числа, отношение которых равно 3, а отношение значения суммы квадратов этих чисел к значению их суммы равно 5.

4) Найдите двузначное число, если оно в 4 раза больше значения суммы его цифр и на 16 больше значения произведения его цифр.

5) Найдите двузначное число, если оно в 4 раза больше значения суммы его цифр и в 2 раза больше значения произведения его цифр.

1) Пусть $r_1$ и $r_2$ — радиусы двух кругов, причем $r_1 > r_2$. По условию, сумма их длин равна 14 см, а разность площадей равна $28\pi \text{ см}^2$. Составим систему уравнений:
$r_1 + r_2 = 14$
$S_1 - S_2 = 28\pi$
Площадь круга вычисляется по формуле $S = \pi r^2$. Подставим это во второе уравнение:
$\pi r_1^2 - \pi r_2^2 = 28\pi$
Разделим обе части уравнения на $\pi$:
$r_1^2 - r_2^2 = 28$
Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$(r_1 - r_2)(r_1 + r_2) = 28$
Мы знаем, что $r_1 + r_2 = 14$. Подставим это значение в уравнение:
$(r_1 - r_2) \cdot 14 = 28$
$r_1 - r_2 = \frac{28}{14} = 2$
Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} r_1 + r_2 = 14 \\ r_1 - r_2 = 2 \end{cases} $
Сложим эти два уравнения: $(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2) = 14 + 2$, что дает $2r_1 = 16$. Отсюда $r_1 = 8$.
Подставим значение $r_1$ в первое уравнение: $8 + r_2 = 14$. Отсюда $r_2 = 6$.
Таким образом, радиусы кругов равны 8 см и 6 см.
Ответ: длины радиусов равны 8 см и 6 см.

2) Пусть $x$ и $y$ — два искомых положительных числа. Согласно условию, имеем систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 202 \\ x^2 - y^2 = 40 \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения:
$(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = 202 + 40$
$2x^2 = 242$
$x^2 = 121$
Поскольку $x$ — положительное число, $x = \sqrt{121} = 11$.
Теперь подставим значение $x^2$ в первое уравнение:
$121 + y^2 = 202$
$y^2 = 202 - 121 = 81$
Поскольку $y$ — положительное число, $y = \sqrt{81} = 9$.
Искомые числа — 11 и 9.
Ответ: 11 и 9.

3) Пусть искомые числа — это $x$ и $y$. По условиям задачи составим систему уравнений:
$ \begin{cases} \frac{x}{y} = 3 \\ \frac{x^2 + y^2}{x + y} = 5 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $x$ через $y$: $x = 3y$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{(3y)^2 + y^2}{3y + y} = 5$
$\frac{9y^2 + y^2}{4y} = 5$
$\frac{10y^2}{4y} = 5$
Предполагая, что $y \neq 0$, сократим дробь:
$\frac{5}{2}y = 5$
$y = 5 \cdot \frac{2}{5} = 2$
Теперь найдем $x$:
$x = 3y = 3 \cdot 2 = 6$.
Искомые числа — 6 и 2.
Ответ: 6 и 2.

4) Пусть искомое двузначное число имеет $t$ десятков и $u$ единиц. Тогда значение числа можно записать как $10t + u$. Сумма его цифр равна $t+u$, а произведение — $tu$.
По условиям задачи, составляем систему уравнений:
$ \begin{cases} 10t + u = 4(t + u) \\ 10t + u = tu + 16 \end{cases} $
Рассмотрим первое уравнение:
$10t + u = 4t + 4u$
$6t = 3u$
$u = 2t$
Подставим выражение $u=2t$ во второе уравнение системы:
$10t + 2t = t(2t) + 16$
$12t = 2t^2 + 16$
$2t^2 - 12t + 16 = 0$
Разделим все уравнение на 2:
$t^2 - 6t + 8 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: $t_1 + t_2 = 6$, $t_1 \cdot t_2 = 8$. Корни $t_1=2$ и $t_2=4$.
Рассмотрим оба случая:
1. Если $t=2$, то $u = 2t = 2 \cdot 2 = 4$. Искомое число — 24.
Проверка для 24: $24 = 4(2+4) = 24$ (верно); $24 = 2 \cdot 4 + 16 = 8 + 16 = 24$ (верно).
2. Если $t=4$, то $u = 2t = 2 \cdot 4 = 8$. Искомое число — 48.
Проверка для 48: $48 = 4(4+8) = 4 \cdot 12 = 48$ (верно); $48 = 4 \cdot 8 + 16 = 32 + 16 = 48$ (верно).
Оба числа удовлетворяют условиям задачи.
Ответ: 24 или 48.

5) Пусть искомое двузначное число равно $10t + u$, где $t$ — цифра десятков, а $u$ — цифра единиц.
Из условий задачи получаем систему уравнений:
$ \begin{cases} 10t + u = 4(t + u) \\ 10t + u = 2(tu) \end{cases} $
Из первого уравнения, как и в предыдущей задаче, получаем:
$10t + u = 4t + 4u \implies 6t = 3u \implies u = 2t$.
Подставим $u = 2t$ во второе уравнение:
$10t + 2t = 2 \cdot t \cdot (2t)$
$12t = 4t^2$
Перенесем все в одну сторону:
$4t^2 - 12t = 0$
$4t(t - 3) = 0$
Это уравнение имеет два корня: $t=0$ или $t=3$.
Поскольку $t$ является первой цифрой двузначного числа, $t \neq 0$. Следовательно, $t=3$.
Найдем $u$: $u = 2t = 2 \cdot 3 = 6$.
Искомое число — 36.
Ответ: 36.