Номер 4.8, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.8. 1) Сочинение писали 108 экзаменующихся. Им было роздано 480 листов бумаги, причем каждая девушка получила на один лист больше каждого юноши, а все девушки получили столько же листов, сколько все юноши. Сколько было девушек и сколько юношей?

2) Велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист, поэтому на путь длиной 30 км он затрачивает времени на 0,5 ч больше, чем мотоциклист. Найдите скорости мотоциклиста и велосипедиста.

1)

Пусть $g$ – количество девушек, а $b$ – количество юношей.
Пусть $s_g$ – количество листов бумаги, которое получила каждая девушка, а $s_b$ – количество листов, которое получил каждый юноша.

По условию задачи, всего было 108 экзаменующихся, значит, мы можем составить первое уравнение:
$g + b = 108$

Всего было роздано 480 листов бумаги. Известно, что все девушки получили столько же листов, сколько все юноши. Это означает, что каждая группа получила половину всех листов:
Всего листов у девушек = $480 / 2 = 240$
Всего листов у юношей = $480 / 2 = 240$

Отсюда мы можем выразить количество листов на одного человека:
$g \cdot s_g = 240 \implies s_g = \frac{240}{g}$
$b \cdot s_b = 240 \implies s_b = \frac{240}{b}$

Также по условию, каждая девушка получила на один лист больше каждого юноши:
$s_g = s_b + 1$

Подставим выражения для $s_g$ и $s_b$ в это уравнение:
$\frac{240}{g} = \frac{240}{b} + 1$

Из первого уравнения выразим $b$: $b = 108 - g$. Подставим это в полученное уравнение:
$\frac{240}{g} = \frac{240}{108 - g} + 1$

Умножим обе части уравнения на $g(108 - g)$, чтобы избавиться от знаменателей:
$240(108 - g) = 240g + g(108 - g)$
$25920 - 240g = 240g + 108g - g^2$
$25920 - 240g = 348g - g^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$g^2 - 348g - 240g + 25920 = 0$
$g^2 - 588g + 25920 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-588)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25920 = 345744 - 103680 = 242064$
$\sqrt{D} = \sqrt{242064} = 492$

Найдем корни уравнения:
$g_1 = \frac{588 + 492}{2} = \frac{1080}{2} = 540$
$g_2 = \frac{588 - 492}{2} = \frac{96}{2} = 48$

Корень $g_1 = 540$ не подходит, так как общее число экзаменующихся равно 108.
Следовательно, количество девушек $g = 48$.

Теперь найдем количество юношей:
$b = 108 - g = 108 - 48 = 60$

Проверим:
Листов на девушку: $s_g = 240 / 48 = 5$.
Листов на юношу: $s_b = 240 / 60 = 4$.
$5 = 4 + 1$, что соответствует условию.

Ответ: было 48 девушек и 60 юношей.

2)

Пусть $v_м$ – скорость мотоциклиста (в км/ч), а $v_в$ – скорость велосипедиста (в км/ч).

Первое условие: велосипедист каждую минуту проезжает на 500 м меньше, чем мотоциклист. Переведем единицы измерения:
500 м = 0,5 км
1 минута = $1/60$ часа
Таким образом, разница в скорости составляет $0,5$ км за $1/60$ часа. Выразим это в км/ч:
$v_м - v_в = \frac{0,5 \text{ км}}{1/60 \text{ ч}} = 0,5 \cdot 60 = 30$ км/ч.
Отсюда $v_м = v_в + 30$.

Второе условие: на путь длиной 30 км велосипедист затрачивает на 0,5 ч больше, чем мотоциклист.
Время, которое тратит мотоциклист: $t_м = \frac{S}{v_м} = \frac{30}{v_м}$.
Время, которое тратит велосипедист: $t_в = \frac{S}{v_в} = \frac{30}{v_в}$.
Разница во времени: $t_в - t_м = 0,5$.
Получаем второе уравнение: $\frac{30}{v_в} - \frac{30}{v_м} = 0,5$.

Подставим выражение для $v_м$ из первого условия во второе уравнение:
$\frac{30}{v_в} - \frac{30}{v_в + 30} = 0,5$

Решим это уравнение. Умножим обе части на $2 \cdot v_в(v_в + 30)$:
$30 \cdot 2(v_в + 30) - 30 \cdot 2v_в = 1 \cdot v_в(v_в + 30)$
$60(v_в + 30) - 60v_в = v_в^2 + 30v_в$
$60v_в + 1800 - 60v_в = v_в^2 + 30v_в$
$1800 = v_в^2 + 30v_в$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$v_в^2 + 30v_в - 1800 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100$
$\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$

Найдем корни уравнения:
$(v_в)_1 = \frac{-30 + 90}{2} = \frac{60}{2} = 30$
$(v_в)_2 = \frac{-30 - 90}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость велосипедиста $v_в = 30$ км/ч.

Теперь найдем скорость мотоциклиста:
$v_м = v_в + 30 = 30 + 30 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста – 60 км/ч, скорость велосипедиста – 30 км/ч.