Номер 4.10, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.10. 1) В 500 кг руды находится некоторое количество железа. После удаления из руды 200 кг примесей, содержащих в среднем 12,5% железа, в оставшейся руде железа повысилось на 20%. Какое количество железа осталось еще в руде?

2) Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащей 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы полученный новый сплав содержал 40% меди?

1) Пусть $x$ кг — первоначальная масса железа в 500 кг руды. Тогда начальное процентное содержание железа в руде составляло $p_1 = \frac{x}{500} \cdot 100 = \frac{x}{5}\%$.

Из руды удалили 200 кг примесей, в которых содержалось 12,5% железа. Найдем массу железа, удаленную вместе с примесями: $m_{Fe, удал} = 200 \cdot \frac{12.5}{100} = 200 \cdot 0.125 = 25$ кг.

После удаления примесей общая масса руды стала $500 - 200 = 300$ кг. Масса железа в оставшейся руде стала $(x - 25)$ кг.

Новое процентное содержание железа в руде составляет $p_2 = \frac{x - 25}{300} \cdot 100 = \frac{x - 25}{3}\%$.

По условию, содержание железа повысилось на 20%. Это означает, что новое процентное содержание на 20 процентных пунктов больше первоначального: $p_2 = p_1 + 20$. Составим и решим уравнение: $\frac{x - 25}{3} = \frac{x}{5} + 20$

Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на 15: $15 \cdot \frac{x - 25}{3} = 15 \cdot \frac{x}{5} + 15 \cdot 20$ $5(x - 25) = 3x + 300$ $5x - 125 = 3x + 300$ $5x - 3x = 300 + 125$ $2x = 425$ $x = 212.5$ кг.

Мы нашли первоначальную массу железа. Вопрос задачи — какое количество железа осталось в руде. Масса оставшегося железа равна: $x - 25 = 212.5 - 25 = 187.5$ кг.

Ответ: 187,5 кг.

2) Сначала найдем массу меди в исходном сплаве. Общая масса сплава 12 кг, и он содержит 45% меди. Масса меди: $m_{меди} = 12 \cdot \frac{45}{100} = 12 \cdot 0.45 = 5.4$ кг.

При добавлении чистого олова масса меди в сплаве не меняется, она остается равной 5,4 кг. Пусть $y$ кг — масса чистого олова, которую нужно добавить. Тогда новая общая масса сплава станет $(12 + y)$ кг.

По условию, в новом сплаве должно содержаться 40% меди. Составим уравнение, исходя из того, что масса меди (5,4 кг) составляет 40% от новой общей массы сплава: $\frac{5.4}{12 + y} = \frac{40}{100}$ $\frac{5.4}{12 + y} = 0.4$

Решим полученное уравнение относительно $y$: $5.4 = 0.4 \cdot (12 + y)$ $5.4 = 4.8 + 0.4y$ $0.4y = 5.4 - 4.8$ $0.4y = 0.6$ $y = \frac{0.6}{0.4} = \frac{6}{4} = 1.5$ кг.

Следовательно, нужно добавить 1,5 кг чистого олова.

Ответ: 1,5 кг.