Номер 4.9, страница 51, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.9. 1) Длина пути от пункта А до пункта В по железной дороге равна 88 км, а по реке составляет 108 км. Поезд из пункта А выходит на 1 ч позже теплохода и прибывает в пункт В на 15 мин раньше. Найдите скорость поезда, если известно, что она на 40 км/ч больше скорости теплохода.

2) Мотоциклист остановился для заправки горючим на 12 минут. После этого, увеличив скорость движения на 15 км/ч, он наверстал потерянное время, проехав путь длиной 60 км. С какой скоростью мотоциклист двигался после остановки?

1) Пусть скорость теплохода равна $x$ км/ч. Тогда, согласно условию, скорость поезда равна $(x + 40)$ км/ч.
Время, которое теплоход затрачивает на путь в 108 км, составляет $t_{теплоход} = \frac{108}{x}$ ч.
Время, которое поезд затрачивает на путь в 88 км, составляет $t_{поезд} = \frac{88}{x+40}$ ч.
Поезд отправляется на 1 час позже теплохода и прибывает в пункт В на 15 минут раньше. Это означает, что общее время в пути у поезда меньше, чем у теплохода. Разница во времени составляет:
$1 \text{ час} + 15 \text{ минут} = 1 + \frac{15}{60} \text{ часа} = 1 + \frac{1}{4} \text{ часа} = 1,25 \text{ часа} = \frac{5}{4}$ часа.
Таким образом, время движения теплохода на $\frac{5}{4}$ часа больше времени движения поезда. Составим уравнение:
$t_{теплоход} - t_{поезд} = \frac{5}{4}$
$\frac{108}{x} - \frac{88}{x+40} = \frac{5}{4}$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+40)$:
$\frac{108(x+40) - 88x}{x(x+40)} = \frac{5}{4}$
$\frac{108x + 4320 - 88x}{x^2 + 40x} = \frac{5}{4}$
$\frac{20x + 4320}{x^2 + 40x} = \frac{5}{4}$
Воспользуемся правилом пропорции:
$4(20x + 4320) = 5(x^2 + 40x)$
$80x + 17280 = 5x^2 + 200x$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$5x^2 + 200x - 80x - 17280 = 0$
$5x^2 + 120x - 17280 = 0$
Разделим все уравнение на 5 для упрощения:
$x^2 + 24x - 3456 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 24^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3456) = 576 + 13824 = 14400$
$\sqrt{D} = \sqrt{14400} = 120$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-24 + 120}{2 \cdot 1} = \frac{96}{2} = 48$
$x_2 = \frac{-24 - 120}{2 \cdot 1} = \frac{-144}{2} = -72$
Поскольку скорость не может быть отрицательной, корень $x_2 = -72$ не является решением задачи. Следовательно, скорость теплохода равна 48 км/ч.
Теперь найдем скорость поезда:
$x + 40 = 48 + 40 = 88$ км/ч.
Ответ: 88 км/ч.

2) Пусть первоначальная скорость мотоциклиста была $v$ км/ч. После остановки его скорость стала $(v + 15)$ км/ч.
Мотоциклист остановился на 12 минут. Переведем это время в часы: $12 \text{ мин} = \frac{12}{60} \text{ ч} = \frac{1}{5}$ ч.
Чтобы наверстать потерянное время, мотоциклист проехал 60 км с увеличенной скоростью. Это означает, что время, которое он бы затратил на этот участок с первоначальной скоростью, на $\frac{1}{5}$ часа больше, чем время, затраченное с увеличенной скоростью.
Время движения 60 км с первоначальной скоростью: $t_1 = \frac{60}{v}$ ч.
Время движения 60 км с увеличенной скоростью: $t_2 = \frac{60}{v+15}$ ч.
Составим уравнение на основе разницы во времени:
$t_1 - t_2 = \frac{1}{5}$
$\frac{60}{v} - \frac{60}{v+15} = \frac{1}{5}$
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{60(v+15) - 60v}{v(v+15)} = \frac{1}{5}$
$\frac{60v + 900 - 60v}{v^2 + 15v} = \frac{1}{5}$
$\frac{900}{v^2 + 15v} = \frac{1}{5}$
Используя свойство пропорции, получаем:
$v^2 + 15v = 900 \cdot 5$
$v^2 + 15v = 4500$
$v^2 + 15v - 4500 = 0$
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$
$\sqrt{D} = \sqrt{18225} = 135$
Найдем корни уравнения:
$v_1 = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$
$v_2 = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$
Скорость не может быть отрицательной, поэтому первоначальная скорость мотоциклиста $v = 60$ км/ч.
Вопрос задачи — найти скорость, с которой мотоциклист двигался после остановки. Эта скорость равна $v + 15$:
$60 + 15 = 75$ км/ч.
Ответ: 75 км/ч.