Номер 4.6, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.6. 1) Из пунктов А и В, длина пути между которыми по шоссе равна 180 км, одновременно навстречу друг другу выехали два мотоциклиста и встретились через 3 ч. Один из них прибыл в пункт А через 2 ч после встречи, второй — в пункт В через 4,5 ч. Найдите скорость каждого мотоциклиста.

2) Длина пути по шоссе между двумя городами равна 480 км. Легковой автомобиль проходит этот путь на 2 ч быстрее, чем автобус. Если легковой автомобиль уменьшит скорость на 5 км/ч, то этот путь он пройдет на 1,6 ч быстрее, чем автобус. Найдите скорость автобуса и автомобиля.

1)

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта А, и $v_2$ (км/ч) — скорость мотоциклиста, выехавшего из пункта В. Расстояние между пунктами A и B равно $S = 180$ км.

Мотоциклисты двигались навстречу друг другу и встретились через 3 часа. За это время они вместе проехали все расстояние. Скорость их сближения равна $v_1 + v_2$.

Составим первое уравнение, используя формулу пути $S = v \cdot t$:

$(v_1 + v_2) \cdot 3 = 180$

$v_1 + v_2 = \frac{180}{3}$

$v_1 + v_2 = 60$

До момента встречи первый мотоциклист (из А) проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 3 = 3v_1$ км. Второй мотоциклист (из B) проехал расстояние $S_2 = v_2 \cdot 3 = 3v_2$ км.

После встречи мотоциклист, выехавший из В, прибыл в пункт А через 2 часа. Это значит, что он проехал оставшееся расстояние $S_1$ со скоростью $v_2$ за 2 часа.

$S_1 = v_2 \cdot 2 \implies 3v_1 = 2v_2$

Второй мотоциклист, выехавший из А, прибыл в пункт В через 4,5 часа после встречи. Это значит, что он проехал оставшееся расстояние $S_2$ со скоростью $v_1$ за 4,5 часа.

$S_2 = v_1 \cdot 4,5 \implies 3v_2 = 4,5v_1$ (Это уравнение является следствием предыдущего: $v_2 = \frac{4,5}{3}v_1 = 1,5v_1$, что то же самое, что и $3v_1 = 2v_2$).

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 60 \\ 3v_1 = 2v_2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $v_2$:

$v_2 = \frac{3}{2}v_1 = 1,5v_1$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$v_1 + 1,5v_1 = 60$

$2,5v_1 = 60$

$v_1 = \frac{60}{2,5} = \frac{600}{25} = 24$ км/ч.

Теперь найдем скорость второго мотоциклиста:

$v_2 = 1,5 \cdot v_1 = 1,5 \cdot 24 = 36$ км/ч.

Ответ: скорость одного мотоциклиста 24 км/ч, скорость другого — 36 км/ч.

2)

Пусть $v_а$ (км/ч) — скорость легкового автомобиля, а $v_б$ (км/ч) — скорость автобуса. Расстояние между городами $S = 480$ км.

Время, за которое автомобиль проходит этот путь, равно $t_а = \frac{480}{v_а}$. Время, за которое автобус проходит этот путь, равно $t_б = \frac{480}{v_б}$.

По условию, легковой автомобиль проходит этот путь на 2 часа быстрее, чем автобус:

$t_а = t_б - 2$

$\frac{480}{v_а} = \frac{480}{v_б} - 2$ (1)

Если легковой автомобиль уменьшит скорость на 5 км/ч, его новая скорость станет $v_а - 5$. Время в пути станет $t'_а = \frac{480}{v_а - 5}$.

В этом случае он пройдет путь на 1,6 часа быстрее, чем автобус:

$t'_а = t_б - 1,6$

$\frac{480}{v_а - 5} = \frac{480}{v_б} - 1,6$ (2)

Получили систему из двух уравнений. Выразим $\frac{480}{v_б}$ из первого уравнения:

$\frac{480}{v_б} = \frac{480}{v_а} + 2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{480}{v_а - 5} = \left(\frac{480}{v_а} + 2\right) - 1,6$

$\frac{480}{v_а - 5} = \frac{480}{v_а} + 0,4$

Перенесем слагаемое с $v_а$ в левую часть:

$\frac{480}{v_а - 5} - \frac{480}{v_а} = 0,4$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{480v_а - 480(v_а - 5)}{v_а(v_а - 5)} = 0,4$

$\frac{480v_а - 480v_а + 2400}{v_а^2 - 5v_а} = 0,4$

$\frac{2400}{v_а^2 - 5v_а} = 0,4$

Используя свойство пропорции, получаем:

$0,4(v_а^2 - 5v_а) = 2400$

$v_а^2 - 5v_а = \frac{2400}{0,4} = \frac{24000}{4} = 6000$

$v_а^2 - 5v_а - 6000 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6000) = 25 + 24000 = 24025$

$\sqrt{D} = \sqrt{24025} = 155$

$v_а = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 155}{2}$

Первый корень: $v_{а1} = \frac{5 + 155}{2} = \frac{160}{2} = 80$ (км/ч).

Второй корень: $v_{а2} = \frac{5 - 155}{2} = -75$. Этот корень не подходит, так как скорость не может быть отрицательной.

Итак, скорость автомобиля $v_а = 80$ км/ч.

Найдем скорость автобуса $v_б$ из уравнения (1):

$\frac{480}{80} = \frac{480}{v_б} - 2$

$6 = \frac{480}{v_б} - 2$

$8 = \frac{480}{v_б}$

$v_б = \frac{480}{8} = 60$ км/ч.

Ответ: скорость автобуса 60 км/ч, скорость автомобиля 80 км/ч.