Номер 4.13, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.13. 1) От пристани А в одном и том же направлении отплыли плот и катер. Пройдя 90 км пути катер повернул обратно и прибыл на эту же пристань, затратив на весь путь 12,5 ч. На обратном пути он встретил плот в 30 км пути от пристани. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера.

2) От пристани А вниз по течению реки отплыли плот и катер. Пройдя 96 км пути катер повернул обратно и вернулся в пристань А, затратив на весь путь 14 ч. На обратном пути он встретил плот в 24 км пути от пристани. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера.

1)

Пусть $v_к$ — собственная скорость катера (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч). Скорость плота равна скорости течения, так как у плота нет собственного двигателя.

Катер и плот отплыли в одном направлении, то есть по течению реки. Скорость катера по течению составляет $v_к + v_т$, а скорость против течения — $v_к - v_т$.

Катер прошел 90 км по течению, развернулся и прошел 90 км против течения, вернувшись на пристань А. На весь путь он затратил 12,5 часов. Это можно записать в виде уравнения:

$t_{общ} = t_{по} + t_{прот} = \frac{90}{v_к + v_т} + \frac{90}{v_к - v_т} = 12.5$

На обратном пути катер встретил плот на расстоянии 30 км от пристани А. Это означает, что к моменту встречи плот, двигаясь со скоростью течения $v_т$, проплыл 30 км. Время движения плота до встречи составляет:

$t_{встречи} = \frac{30}{v_т}$

За это же время катер прошел 90 км по течению и часть обратного пути, равную $90 - 30 = 60$ км, против течения. Время движения катера до момента встречи:

$t_{встречи} = \frac{90}{v_к + v_т} + \frac{60}{v_к - v_т}$

Так как время до встречи у них одинаковое, мы можем приравнять эти два выражения:

$\frac{30}{v_т} = \frac{90}{v_к + v_т} + \frac{60}{v_к - v_т}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} \frac{90}{v_к + v_т} + \frac{90}{v_к - v_т} = 12.5 \\ \frac{30}{v_т} = \frac{90}{v_к + v_т} + \frac{60}{v_к - v_т} \end{cases}$

Давайте решим второе уравнение, чтобы найти соотношение между $v_к$ и $v_т$. Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{30}{v_т} = \frac{90(v_к - v_т) + 60(v_к + v_т)}{(v_к + v_т)(v_к - v_т)}$

$\frac{30}{v_т} = \frac{90v_к - 90v_т + 60v_к + 60v_т}{v_к^2 - v_т^2}$

$\frac{30}{v_т} = \frac{150v_к - 30v_т}{v_к^2 - v_т^2}$

$30(v_к^2 - v_т^2) = v_т(150v_к - 30v_т)$

$30v_к^2 - 30v_т^2 = 150v_кv_т - 30v_т^2$

$30v_к^2 = 150v_кv_т$

Поскольку скорость катера $v_к$ не может быть равна нулю, разделим обе части на $30v_к$:

$v_к = 5v_т$

Теперь подставим это соотношение в первое уравнение системы:

$\frac{90}{5v_т + v_т} + \frac{90}{5v_т - v_т} = 12.5$

$\frac{90}{6v_т} + \frac{90}{4v_т} = 12.5$

$\frac{15}{v_т} + \frac{22.5}{v_т} = 12.5$

$\frac{37.5}{v_т} = 12.5$

$v_т = \frac{37.5}{12.5} = 3$ км/ч.

Теперь найдем собственную скорость катера:

$v_к = 5v_т = 5 \cdot 3 = 15$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки 3 км/ч, собственная скорость катера 15 км/ч.

2)

Пусть $v_к$ — собственная скорость катера (в км/ч), а $v_т$ — скорость течения реки (в км/ч). Плот движется со скоростью течения $v_т$.

Катер движется по течению со скоростью $v_к + v_т$ и против течения со скоростью $v_к - v_т$.

Катер прошел 96 км по течению и 96 км против течения, вернувшись в пункт А. Общее время в пути составило 14 часов. Составим первое уравнение:

$\frac{96}{v_к + v_т} + \frac{96}{v_к - v_т} = 14$

На обратном пути катер встретил плот в 24 км от пристани А. Это значит, что за время до встречи плот проплыл 24 км. Время движения плота:

$t_{встречи} = \frac{24}{v_т}$

За это же время катер прошел 96 км по течению и $96 - 24 = 72$ км против течения. Время движения катера до встречи:

$t_{встречи} = \frac{96}{v_к + v_т} + \frac{72}{v_к - v_т}$

Приравнивая время, получаем второе уравнение:

$\frac{24}{v_т} = \frac{96}{v_к + v_т} + \frac{72}{v_к - v_т}$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{96}{v_к + v_т} + \frac{96}{v_к - v_т} = 14 \\ \frac{24}{v_т} = \frac{96}{v_к + v_т} + \frac{72}{v_к - v_т} \end{cases}$

Упростим второе уравнение, разделив все его члены на 24:

$\frac{1}{v_т} = \frac{4}{v_к + v_т} + \frac{3}{v_к - v_т}$

Приведем правую часть к общему знаменателю:

$\frac{1}{v_т} = \frac{4(v_к - v_т) + 3(v_к + v_т)}{(v_к + v_т)(v_к - v_т)}$

$\frac{1}{v_т} = \frac{4v_к - 4v_т + 3v_к + 3v_т}{v_к^2 - v_т^2}$

$\frac{1}{v_т} = \frac{7v_к - v_т}{v_к^2 - v_т^2}$

$v_к^2 - v_т^2 = v_т(7v_к - v_т)$

$v_к^2 - v_т^2 = 7v_кv_т - v_т^2$

$v_к^2 = 7v_кv_т$

Так как $v_к \ne 0$, разделим обе части на $v_к$:

$v_к = 7v_т$

Подставим это соотношение в первое уравнение системы:

$\frac{96}{7v_т + v_т} + \frac{96}{7v_т - v_т} = 14$

$\frac{96}{8v_т} + \frac{96}{6v_т} = 14$

$\frac{12}{v_т} + \frac{16}{v_т} = 14$

$\frac{28}{v_т} = 14$

$v_т = \frac{28}{14} = 2$ км/ч.

Теперь найдем собственную скорость катера:

$v_к = 7v_т = 7 \cdot 2 = 14$ км/ч.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч, собственная скорость катера 14 км/ч.