Номер 4.16, страница 53, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.16. 1) Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора одной кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий $35\%$ кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий $36\%$ кислоты. Сколько килограммов кислоты находится в каждом растворе?

2) Имеются два сплава алюминия и платины с содержанием платины $11\%$ и $4\%$. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы их переплавить и получить сплав, содержащий $7\%$ платины?

1) Пусть $c_1$ и $c_2$ — концентрации кислоты (в долях) в первом и втором сосудах соответственно. Масса первого раствора $m_1 = 4$ кг, а второго $m_2 = 6$ кг. Тогда масса кислоты в первом растворе составляет $4c_1$ кг, а во втором — $6c_2$ кг.

Согласно первому условию, при смешивании 4 кг первого раствора и 6 кг второго получается раствор с концентрацией 35% (0.35). Общая масса смеси составляет $4 + 6 = 10$ кг, а общая масса кислоты в ней — $4c_1 + 6c_2$ кг. Составим уравнение, исходя из определения концентрации:
$\frac{4c_1 + 6c_2}{10} = 0.35$
Отсюда получаем первое уравнение: $4c_1 + 6c_2 = 3.5$.

Согласно второму условию, при смешивании равных масс этих растворов (например, по $m$ кг каждого) получается раствор с концентрацией 36% (0.36). Общая масса смеси будет $m + m = 2m$ кг, а масса кислоты в ней — $mc_1 + mc_2 = m(c_1 + c_2)$ кг. Составим второе уравнение:
$\frac{m(c_1 + c_2)}{2m} = 0.36$
$\frac{c_1 + c_2}{2} = 0.36$
Отсюда получаем: $c_1 + c_2 = 0.72$.

Теперь необходимо решить систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases}4c_1 + 6c_2 = 3.5 \\c_1 + c_2 = 0.72\end{cases}$
Из второго уравнения выразим $c_1 = 0.72 - c_2$ и подставим это выражение в первое уравнение:
$4(0.72 - c_2) + 6c_2 = 3.5$
$2.88 - 4c_2 + 6c_2 = 3.5$
$2c_2 = 3.5 - 2.88$
$2c_2 = 0.62$
$c_2 = 0.31$

Теперь найдем $c_1$:
$c_1 = 0.72 - 0.31 = 0.41$.

Итак, концентрация кислоты в первом растворе — 41%, а во втором — 31%.
Найдем массу кислоты в каждом исходном растворе:
Масса кислоты в первом растворе: $4 \text{ кг} \times 0.41 = 1.64$ кг.
Масса кислоты во втором растворе: $6 \text{ кг} \times 0.31 = 1.86$ кг.

Ответ: в первом растворе содержится 1.64 кг кислоты, а во втором — 1.86 кг.

2) Пусть $m_1$ — масса первого сплава (с содержанием платины 11%), а $m_2$ — масса второго сплава (с содержанием платины 4%). Необходимо найти отношение $m_1 : m_2$, при котором новый сплав будет содержать 7% платины.

Выразим концентрации в долях: $c_1 = 0.11$, $c_2 = 0.04$, и требуемая концентрация нового сплава $c_{нов} = 0.07$.

Масса платины в $m_1$ кг первого сплава составляет $0.11 m_1$ кг.
Масса платины в $m_2$ кг второго сплава составляет $0.04 m_2$ кг.

При смешивании общая масса нового сплава будет $M = m_1 + m_2$, а общая масса платины в нем $P = 0.11 m_1 + 0.04 m_2$.
Концентрация платины в новом сплаве равна отношению массы платины к общей массе сплава:
$\frac{0.11 m_1 + 0.04 m_2}{m_1 + m_2} = 0.07$

Решим это уравнение, чтобы найти отношение $\frac{m_1}{m_2}$:
$0.11 m_1 + 0.04 m_2 = 0.07(m_1 + m_2)$
$0.11 m_1 + 0.04 m_2 = 0.07 m_1 + 0.07 m_2$
Сгруппируем члены с $m_1$ в левой части, а с $m_2$ — в правой:
$0.11 m_1 - 0.07 m_1 = 0.07 m_2 - 0.04 m_2$
$0.04 m_1 = 0.03 m_2$
Чтобы найти отношение $\frac{m_1}{m_2}$, разделим обе части на $m_2$ и на 0.04:
$\frac{m_1}{m_2} = \frac{0.03}{0.04} = \frac{3}{4}$

Таким образом, сплавы необходимо взять в массовом отношении $3:4$.

Ответ: сплавы нужно взять в отношении 3:4.