Номер 4.14, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.14. 1) Имеются два сплава золота и серебра. В первом сплаве массы этих металлов находятся в отношении $2 : 3$, во втором — $3 : 7$. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором золото и серебро находятся в отношении $5 : 11$?

2) Сплавили два одинаковых по массе куска чугуна с разным содержанием хрома и получили сплав, в котором находилось 12 кг хрома. Если бы первый кусок был в два раза тяжелее, то в сплаве находилось бы 16 кг хрома. Найдите процентное содержание хрома в каждом куске чугуна, если процентное содержание хрома в первом куске на 5% меньше, чем во втором.

1)

Пусть $x$ кг — масса первого сплава, а $y$ кг — масса второго сплава. По условию, общая масса нового сплава составляет 8 кг, следовательно, мы можем составить первое уравнение: $x + y = 8$

Определим концентрацию (долю) золота в каждом сплаве. В первом сплаве отношение золота к серебру 2 : 3, значит, всего $2 + 3 = 5$ частей. Доля золота в первом сплаве составляет $2/5$. Во втором сплаве отношение золота к серебру 3 : 7, значит, всего $3 + 7 = 10$ частей. Доля золота во втором сплаве составляет $3/10$. Масса золота в $x$ кг первого сплава равна $\frac{2}{5}x$ кг. Масса золота в $y$ кг второго сплава равна $\frac{3}{10}y$ кг.

В новом сплаве массой 8 кг отношение золота к серебру 5 : 11. Всего $5 + 11 = 16$ частей. Масса золота в новом сплаве составляет: $8 \cdot \frac{5}{16} = \frac{40}{16} = 2.5$ кг.

Сложив массу золота из двух первоначальных сплавов, мы получим массу золота в новом сплаве. Составим второе уравнение: $\frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y = 2.5$

Получим систему из двух уравнений: $\begin{cases} x + y = 8 \\ \frac{2}{5}x + \frac{3}{10}y = 2.5 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 8 - x$. Подставим это выражение во второе уравнение. Для удобства сначала умножим второе уравнение на 10, чтобы избавиться от дробей: $10 \cdot (\frac{2}{5}x) + 10 \cdot (\frac{3}{10}y) = 10 \cdot 2.5$ $4x + 3y = 25$ Теперь подставим $y = 8 - x$: $4x + 3(8 - x) = 25$ $4x + 24 - 3x = 25$ $x + 24 = 25$ $x = 1$

Теперь найдем массу второго сплава: $y = 8 - x = 8 - 1 = 7$

Таким образом, для получения нового сплава нужно взять 1 кг первого сплава и 7 кг второго.

Ответ: 1 кг первого сплава и 7 кг второго сплава.

2)

Пусть $m$ — масса каждого из двух кусков чугуна, $p_1$ и $p_2$ — процентное содержание хрома в первом и втором кусках соответственно.

По условию, процентное содержание хрома в первом куске на 5% меньше, чем во втором. Это можно записать как уравнение: $p_1 = p_2 - 5$

Масса хрома в куске равна произведению массы куска на долю хрома в нем. Доля хрома в первом куске — $\frac{p_1}{100}$, во втором — $\frac{p_2}{100}$.

В первом случае, когда сплавили два куска массой $m$ каждый, масса хрома в полученном сплаве составила 12 кг. Составим первое уравнение для массы хрома: $\frac{p_1}{100}m + \frac{p_2}{100}m = 12$ $\frac{m}{100}(p_1 + p_2) = 12$

Во втором случае, если бы первый кусок был в два раза тяжелее (масса $2m$), а масса второго осталась прежней ($m$), то в сплаве находилось бы 16 кг хрома. Составим второе уравнение для массы хрома: $\frac{p_1}{100}(2m) + \frac{p_2}{100}m = 16$ $\frac{m}{100}(2p_1 + p_2) = 16$

Теперь у нас есть система уравнений: $\begin{cases} p_1 = p_2 - 5 \\ \frac{m}{100}(p_1 + p_2) = 12 \\ \frac{m}{100}(2p_1 + p_2) = 16 \end{cases}$

Разделим третье уравнение системы на второе, чтобы исключить неизвестную массу $m$: $\frac{\frac{m}{100}(2p_1 + p_2)}{\frac{m}{100}(p_1 + p_2)} = \frac{16}{12}$ $\frac{2p_1 + p_2}{p_1 + p_2} = \frac{4}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение): $3(2p_1 + p_2) = 4(p_1 + p_2)$ $6p_1 + 3p_2 = 4p_1 + 4p_2$ $2p_1 = p_2$

Мы получили, что процентное содержание хрома во втором куске в два раза больше, чем в первом. Теперь подставим это соотношение в самое первое уравнение $p_1 = p_2 - 5$: $p_1 = (2p_1) - 5$ $5 = 2p_1 - p_1$ $p_1 = 5$

Следовательно, процентное содержание хрома в первом куске составляет 5%. Найдем содержание хрома во втором куске: $p_2 = 2p_1 = 2 \cdot 5 = 10$ Процентное содержание хрома во втором куске — 10%.

Ответ: процентное содержание хрома в первом куске чугуна — 5%, во втором — 10%.