Номер 4.12, страница 52, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.12. 1) Одновременно из города А в одном и том же направлении выехали две машины со скоростями 80 км/ч и 100 км/ч. Спустя 1 ч в том же направлении из города А выехал легковой автомобиль, который догнал вторую машину через 3 ч после того, как догнал первую машину. Найдите скорость легкового автомобиля.

2) Из пункта А в пункт В выехал грузовик. Через час из пункта А выехал легковой автомобиль. Через 2 ч после выезда он догнал грузовик и прибыл в пункт В на 3 ч раньше грузовика. Сколько времени ехал грузовик от пункта А до пункта В?

1)

Пусть $v$ (в км/ч) — искомая скорость легкового автомобиля, а $t$ (в часах) — время, которое ехал легковой автомобиль до того, как догнал первую машину (со скоростью 80 км/ч).
Первая и вторая машины выехали из города А на 1 час раньше легкового автомобиля.
Когда легковой автомобиль догнал первую машину, он проехал расстояние $v \cdot t$. Первая машина к этому моменту была в пути $t + 1$ час и проехала расстояние $80 \cdot (t + 1)$. Так как они встретились, их пути равны:
$v \cdot t = 80(t + 1)$ (1)
Легковой автомобиль догнал вторую машину (со скоростью 100 км/ч) через 3 часа после того, как догнал первую. Это значит, что с момента своего выезда легковой автомобиль ехал $t + 3$ часа. Вторая машина к этому моменту была в пути $(t + 3) + 1 = t + 4$ часа. Расстояния, которые они проехали до точки второй встречи, равны:
$v \cdot (t + 3) = 100(t + 4)$ (2)
Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} vt = 80(t + 1) \\ v(t + 3) = 100(t + 4) \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $v$:
$v = \frac{80(t + 1)}{t}$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$\frac{80(t + 1)}{t} \cdot (t + 3) = 100(t + 4)$
Разделим обе части уравнения на 20:
$4(t + 1)(t + 3) = 5t(t + 4)$
Раскроем скобки:
$4(t^2 + 4t + 3) = 5t^2 + 20t$
$4t^2 + 16t + 12 = 5t^2 + 20t$
$t^2 + 4t - 12 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64$.
$t_1 = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{4}{2} = 2$
$t_2 = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-12}{2} = -6$
Время не может быть отрицательным, поэтому $t = 2$ часа.
Теперь найдем скорость легкового автомобиля, подставив $t=2$ в выражение для $v$:
$v = \frac{80(2 + 1)}{2} = \frac{80 \cdot 3}{2} = 120$ км/ч.

Ответ: 120 км/ч.

2)

Пусть $t_{гр}$ (в часах) — время, которое ехал грузовик от пункта А до пункта В, а $v_{гр}$ — его скорость.
Пусть $t_{л}$ (в часах) — время в пути легкового автомобиля, а $v_{л}$ — его скорость.
Расстояние от А до В обозначим как $S$. Тогда $S = v_{гр} \cdot t_{гр} = v_{л} \cdot t_{л}$.
По условию, легковой автомобиль выехал на 1 час позже грузовика, а прибыл в пункт В на 3 часа раньше. Следовательно, время в пути легкового автомобиля на $1 + 3 = 4$ часа меньше, чем время в пути грузовика:
$t_{л} = t_{гр} - 4$ (1)
Легковой автомобиль догнал грузовик через 2 часа после своего выезда. За эти 2 часа легковой автомобиль проехал расстояние $2 \cdot v_{л}$.
Грузовик к этому моменту был в пути на 1 час дольше, то есть $2 + 1 = 3$ часа. Он проехал расстояние $3 \cdot v_{гр}$.
В точке встречи пройденные ими расстояния от пункта А равны:
$2v_{л} = 3v_{гр}$, откуда можно выразить одну скорость через другую: $v_{л} = \frac{3}{2}v_{гр}$ (2).
Теперь используем равенство путей за всё время движения от А до В:
$v_{гр} \cdot t_{гр} = v_{л} \cdot t_{л}$
Подставим в это равенство выражения для $t_{л}$ из (1) и для $v_{л}$ из (2):
$v_{гр} \cdot t_{гр} = \left(\frac{3}{2}v_{гр}\right) \cdot (t_{гр} - 4)$
Так как грузовик движется, его скорость $v_{гр} \neq 0$, поэтому мы можем сократить обе части уравнения на $v_{гр}$:
$t_{гр} = \frac{3}{2}(t_{гр} - 4)$
$t_{гр} = 1.5 \cdot t_{гр} - 6$
$6 = 1.5 \cdot t_{гр} - t_{гр}$
$6 = 0.5 \cdot t_{гр}$
$t_{гр} = \frac{6}{0.5} = 12$ часов.

Ответ: 12 часов.