Номер 4.21, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.21. От двух слитков с массой в 7 кг и 3 кг с разным процентным содержанием магния отрезали по куску одинаковой массы. Затем кусок, отрезанный от первого слитка, сплавили с остатком второго слитка, а кусок, отрезанный от второго слитка, сплавили с остатком от первого слитка и получили сплавы с одинаковым процентным содержанием магния. Найдите массу каждого из отрезанных кусков.

Пусть масса первого слитка $m_1 = 7$ кг, а масса второго слитка $m_2 = 3$ кг. Пусть $c_1$ и $c_2$ — это процентное содержание (концентрация) магния в первом и втором слитках соответственно. По условию задачи, концентрации различны, то есть $c_1 \neq c_2$. Пусть $x$ кг — масса куска, отрезанного от каждого из слитков. Нам необходимо найти значение $x$.

После того как от слитков отрезали по куску массой $x$, получились следующие части:

• Остаток первого слитка: масса $(7 - x)$ кг, концентрация магния $c_1$.
• Кусок от первого слитка: масса $x$ кг, концентрация магния $c_1$.
• Остаток второго слитка: масса $(3 - x)$ кг, концентрация магния $c_2$.
• Кусок от второго слитка: масса $x$ кг, концентрация магния $c_2$.

Затем из этих частей создают два новых сплава.

Первый новый сплав получили, сплавив кусок от первого слитка с остатком второго.
Масса этого сплава: $x + (3 - x) = 3$ кг.
Масса магния в этом сплаве складывается из массы магния в куске от первого слитка ($x \cdot c_1$) и массы магния в остатке второго слитка ($(3 - x) \cdot c_2$).
Общая масса магния: $x \cdot c_1 + (3 - x) \cdot c_2$.
Концентрация магния в первом новом сплаве ($C_{нов1}$) равна отношению массы магния к общей массе сплава: $C_{нов1} = \frac{x \cdot c_1 + (3 - x) \cdot c_2}{3}$

Второй новый сплав получили, сплавив кусок от второго слитка с остатком первого.
Масса этого сплава: $x + (7 - x) = 7$ кг.
Масса магния в этом сплаве складывается из массы магния в куске от второго слитка ($x \cdot c_2$) и массы магния в остатке первого слитка ($(7 - x) \cdot c_1$).
Общая масса магния: $x \cdot c_2 + (7 - x) \cdot c_1$.
Концентрация магния во втором новом сплаве ($C_{нов2}$) равна: $C_{нов2} = \frac{x \cdot c_2 + (7 - x) \cdot c_1}{7}$

По условию задачи, концентрации магния в полученных сплавах одинаковы, то есть $C_{нов1} = C_{нов2}$. Составим и решим уравнение:
$\frac{x \cdot c_1 + (3 - x) \cdot c_2}{3} = \frac{x \cdot c_2 + (7 - x) \cdot c_1}{7}$
Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):
$7 \cdot (x \cdot c_1 + (3 - x) \cdot c_2) = 3 \cdot (x \cdot c_2 + (7 - x) \cdot c_1)$
Раскроем скобки:
$7xc_1 + 7(3-x)c_2 = 3xc_2 + 3(7-x)c_1$
$7xc_1 + 21c_2 - 7xc_2 = 3xc_2 + 21c_1 - 3xc_1$
Сгруппируем слагаемые, содержащие $c_1$ в левой части уравнения, а $c_2$ — в правой:
$7xc_1 + 3xc_1 - 21c_1 = 3xc_2 + 7xc_2 - 21c_2$
$10xc_1 - 21c_1 = 10xc_2 - 21c_2$
Вынесем общие множители за скобки:
$c_1(10x - 21) = c_2(10x - 21)$
Перенесем все в левую часть:
$c_1(10x - 21) - c_2(10x - 21) = 0$
$(c_1 - c_2)(10x - 21) = 0$
Так как по условию процентное содержание магния в исходных слитках было разным, то $c_1 \neq c_2$, а значит, $c_1 - c_2 \neq 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Поскольку первый множитель $(c_1 - c_2)$ не равен нулю, то второй множитель должен быть равен нулю:
$10x - 21 = 0$
$10x = 21$
$x = \frac{21}{10} = 2.1$

Таким образом, масса каждого из отрезанных кусков составляет 2,1 кг.

Ответ: 2,1 кг.