Номер 4.22, страница 54, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.22. 1) Две бригады должны были выполнить одинаковую работу. Первая бригада выполнила работу на 30 мин раньше второй бригады. Если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, то она могла бы закончить работу на 2 ч раньше. Найдите число рабочих в каждой бригаде, если производительность обеих бригад одинакова.

2) Два насоса, работая вместе, наполняют бассейн за 10 часов. Если первый насос включить в 6 ч, второй через 2 ч, то в 12 ч в бассейне будет $400 \text{ м}^3$ воды. Найдите емкость бассейна, учитывая, что половину бассейна второй насос может наполнить на 7,5 ч позже, чем первый.

1)

Пусть $n_1$ и $n_2$ — число рабочих в первой и второй бригадах соответственно, а $t_1$ и $t_2$ — время (в часах), за которое они выполняют работу. Примем всю работу за $A$ условных единиц, а производительность одного рабочего за $p$ единиц в час.

Из условия задачи известно, что первая бригада выполнила работу на 30 минут (0.5 часа) раньше второй: $t_2 = t_1 + 0.5$

Объем выполненной работы одинаков для обеих бригад: $A = n_1 \cdot p \cdot t_1 = n_2 \cdot p \cdot t_2$ Разделив на $p$, получим: $n_1 t_1 = n_2 (t_1 + 0.5)$ (1)

Также известно, что если бы в первой бригаде было на 5 человек больше, т.е. $(n_1 + 5)$ рабочих, то она закончила бы работу на 2 часа раньше своего первоначального времени, т.е. за $(t_1 - 2)$ часа. $A = (n_1 + 5) \cdot p \cdot (t_1 - 2)$ $n_1 t_1 = (n_1 + 5)(t_1 - 2)$ (2)

Раскроем скобки в уравнении (2): $n_1 t_1 = n_1 t_1 - 2n_1 + 5t_1 - 10$ $0 = -2n_1 + 5t_1 - 10$ $2n_1 = 5t_1 - 10 \implies n_1 = \frac{5t_1 - 10}{2}$

Так как $n_1 > 0$, то $5t_1 - 10 > 0$, откуда $t_1 > 2$ часа.

Теперь подставим выражение для $n_1$ в уравнение (1), чтобы выразить $n_2$: $n_2 = \frac{n_1 t_1}{t_1 + 0.5} = \frac{(\frac{5t_1 - 10}{2}) t_1}{t_1 + 0.5} = \frac{5t_1(t_1 - 2)}{2(t_1 + 0.5)} = \frac{5t_1(t_1 - 2)}{2t_1 + 1}$

Поскольку число рабочих $n_1$ и $n_2$ должно быть целым положительным числом, мы должны найти такое значение $t_1 > 2$, при котором выражения для $n_1$ и $n_2$ являются целыми числами.

Рассмотрим выражение для $n_2$. Чтобы $n_2$ было целым, можно преобразовать дробь. Заметим, что $4(2t_1+1)$ должно делить $4 \cdot 5t_1(t_1 - 2) = 20 t_1(t_1 - 2)$. Более эффективный подход — заметить, что $4n_1 = 10t_1-20$ и $n_2(2t_1+1) = 5t_1^2-10t_1$. Наиболее просто найти решение, проанализировав выражение $n_2 = \frac{5t_1(t_1-2)}{2t_1+1}$. Можно показать, что для того, чтобы $n_1$ и $n_2$ были целыми, выражение $\frac{25}{2t_1+1}$ должно быть целым числом особой четности. Отсюда следует, что знаменатель $(2t_1 + 1)$ должен быть делителем числа 25.

Делители числа 25: 1, 5, 25. Так как $t_1 > 2$, то $2t_1 + 1 > 2(2) + 1 = 5$. Следовательно, единственно возможный вариант: $2t_1 + 1 = 25$ $2t_1 = 24$ $t_1 = 12$ часов.

Теперь найдем число рабочих в каждой бригаде: $n_1 = \frac{5t_1 - 10}{2} = \frac{5(12) - 10}{2} = \frac{60 - 10}{2} = \frac{50}{2} = 25$ рабочих. $n_2 = \frac{5t_1(t_1 - 2)}{2t_1 + 1} = \frac{5(12)(12 - 2)}{2(12) + 1} = \frac{60 \cdot 10}{25} = 24$ рабочих.

Замечание: Условие "производительность обеих бригад одинакова" противоречит другим данным задачи, так как если бы их производительности были равны, они бы закончили работу одновременно. Скорее всего, имелась в виду одинаковая производительность каждого рабочего в обеих бригадах, что и было использовано в решении.

Ответ: в первой бригаде 25 рабочих, во второй — 24 рабочих.

2)

Пусть $V$ — емкость бассейна в м³, $p_1$ и $p_2$ — производительности (скорости наполнения) первого и второго насосов в м³/ч.

Из первого условия, два насоса вместе наполняют бассейн за 10 часов: $(p_1 + p_2) \cdot 10 = V \implies p_1 + p_2 = \frac{V}{10}$ (1)

Из второго условия, если первый насос включить в 6 ч, а второй через 2 ч (в 8 ч), то к 12 ч в бассейне будет 400 м³ воды. Первый насос работает $12 - 6 = 6$ часов. Второй насос работает $12 - 8 = 4$ часа. Следовательно: $6p_1 + 4p_2 = 400$, что можно упростить, разделив на 2: $3p_1 + 2p_2 = 200$ (2)

Из третьего условия, половину бассейна ($V/2$) второй насос наполнит на 7,5 ч позже, чем первый: $\frac{V/2}{p_2} - \frac{V/2}{p_1} = 7.5$ $\frac{V}{2} \left(\frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_1}\right) = 7.5 \implies \frac{1}{p_2} - \frac{1}{p_1} = \frac{15}{V}$ (3)

Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Выразим $p_1$ и $p_2$ через $V$. Из (1): $p_1 = \frac{V}{10} - p_2$. Подставим в (2): $3\left(\frac{V}{10} - p_2\right) + 2p_2 = 200$ $\frac{3V}{10} - 3p_2 + 2p_2 = 200 \implies p_2 = \frac{3V}{10} - 200$

Теперь найдем $p_1$: $p_1 = \frac{V}{10} - \left(\frac{3V}{10} - 200\right) = 200 - \frac{2V}{10} = 200 - \frac{V}{5}$

Подставим выражения для $p_1$ и $p_2$ в уравнение (3): $\frac{1}{\frac{3V}{10} - 200} - \frac{1}{200 - \frac{V}{5}} = \frac{15}{V}$ $\frac{10}{3V - 2000} - \frac{5}{1000 - V} = \frac{15}{V}$

Приведем левую часть к общему знаменателю: $\frac{10(1000 - V) - 5(3V - 2000)}{(3V - 2000)(1000 - V)} = \frac{15}{V}$ $\frac{10000 - 10V - 15V + 10000}{-3V^2 + 5000V - 2000000} = \frac{15}{V}$ $\frac{20000 - 25V}{-3V^2 + 5000V - 2000000} = \frac{15}{V}$

Используем перекрестное умножение: $V(20000 - 25V) = 15(-3V^2 + 5000V - 2000000)$ $20000V - 25V^2 = -45V^2 + 75000V - 30000000$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $20V^2 - 55000V + 30000000 = 0$ Разделим уравнение на 20: $V^2 - 2750V + 1500000 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $\Delta = b^2 - 4ac$: $\Delta = (-2750)^2 - 4(1)(1500000) = 7562500 - 6000000 = 1562500$ $\sqrt{\Delta} = \sqrt{1562500} = 1250$

Найдем корни уравнения: $V = \frac{2750 \pm 1250}{2}$ $V_1 = \frac{2750 + 1250}{2} = \frac{4000}{2} = 2000$ $V_2 = \frac{2750 - 1250}{2} = \frac{1500}{2} = 750$

Производительности насосов должны быть положительными: $p_1 = 200 - V/5 > 0 \implies V < 1000$ $p_2 = 3V/10 - 200 > 0 \implies V > 2000/3 \approx 667$ Корень $V_1 = 2000$ не удовлетворяет условию $V < 1000$. Корень $V_2 = 750$ удовлетворяет обоим условиям ($667 < 750 < 1000$).

Ответ: емкость бассейна равна 750 м³.