Номер 4.4, страница 50, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

4.4. 1) Фермер отправился на машине в город, длина пути до которого по шоссе равна 110 км. Через 20 мин из города на ферму выехал его сын, который ехал со скоростью на 5 км большей, чем отец. Встреча произошла в 50 км пути от города. С какой скоростью ехал фермер?

2) Из пунктов $A$ и $B$, длина пути между которыми равна 40 км, вышли одновременно навстречу друг другу два туриста. Через 4 ч им осталось пройти до встречи 4 км пути. Если бы из пункта $A$ турист вышел на 1 ч раньше, то они встретились бы на середине пути. Найдите скорость каждого туриста.

1) Пусть скорость фермера равна $v$ км/ч. Тогда скорость его сына, который ехал ему навстречу из города, равна $(v + 5)$ км/ч, так как он ехал на 5 км/ч быстрее.
Встреча произошла в 50 км от города. Это означает, что сын проехал 50 км. Поскольку общее расстояние между фермой и городом составляет 110 км, фермер до момента встречи проехал расстояние: $S_ф = 110 - 50 = 60$ км.
Сын выехал на 20 минут позже фермера. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3}$ ч.
Время, которое затратил фермер на свой путь до встречи, равно $t_ф = \frac{S_ф}{v} = \frac{60}{v}$ ч.
Время, которое затратил сын на свой путь до встречи, равно $t_с = \frac{S_с}{v+5} = \frac{50}{v+5}$ ч.
Так как фермер был в пути на $\frac{1}{3}$ часа дольше, мы можем составить уравнение: $t_ф = t_с + \frac{1}{3}$
$\frac{60}{v} = \frac{50}{v+5} + \frac{1}{3}$
Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $3v(v+5)$. Умножим обе части уравнения на него, приняв, что $v \ne 0$ и $v \ne -5$: $60 \cdot 3(v+5) = 50 \cdot 3v + v(v+5)$
$180(v+5) = 150v + v^2 + 5v$
$180v + 900 = 155v + v^2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: $v^2 + 155v - 180v - 900 = 0$
$v^2 - 25v - 900 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-900) = 625 + 3600 = 4225$
$\sqrt{D} = \sqrt{4225} = 65$
Найдем корни уравнения: $v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 + 65}{2} = \frac{90}{2} = 45$
$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{25 - 65}{2} = \frac{-40}{2} = -20$
Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $v_2 = -20$ не является решением задачи. Следовательно, скорость фермера равна 45 км/ч.
Ответ: 45 км/ч.

2) Пусть скорость туриста, вышедшего из пункта А, равна $v_A$ км/ч, а скорость туриста, вышедшего из пункта В, — $v_B$ км/ч.
Рассмотрим первую ситуацию. Туристы вышли одновременно и через 4 часа им осталось пройти 4 км до встречи. Общее расстояние равно 40 км. Это значит, что за 4 часа они вместе преодолели $40 - 4 = 36$ км. Суммарное расстояние, пройденное обоими туристами, равно произведению их скорости сближения на время. Скорость сближения равна $v_A + v_B$. $(v_A + v_B) \cdot 4 = 36$
Разделив обе части на 4, получим первое уравнение: $v_A + v_B = 9$
Рассмотрим вторую ситуацию. Турист из пункта А вышел на 1 час раньше, и они встретились на середине пути. Середина пути находится на расстоянии 20 км от пункта А и 20 км от пункта В. Таким образом, турист из А прошел 20 км, и турист из В прошел 20 км. Время, которое затратил турист из А: $t_A = \frac{20}{v_A}$ ч.
Время, которое затратил турист из В: $t_B = \frac{20}{v_B}$ ч.
По условию, турист из А был в пути на 1 час дольше, поэтому: $t_A = t_B + 1$
$\frac{20}{v_A} = \frac{20}{v_B} + 1$
Мы получили систему из двух уравнений:
1) $v_A + v_B = 9$
2) $\frac{20}{v_A} = \frac{20}{v_B} + 1$
Из первого уравнения выразим $v_B$: $v_B = 9 - v_A$. Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{20}{v_A} = \frac{20}{9 - v_A} + 1$
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $v_A(9 - v_A)$, при условии что $v_A \ne 0$ и $v_A \ne 9$: $20(9 - v_A) = 20v_A + v_A(9 - v_A)$
$180 - 20v_A = 20v_A + 9v_A - v_A^2$
$180 - 20v_A = 29v_A - v_A^2$
Приведем к стандартному виду квадратного уравнения: $v_A^2 - 20v_A - 29v_A + 180 = 0$
$v_A^2 - 49v_A + 180 = 0$
Решим это уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = (-49)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 180 = 2401 - 720 = 1681$
$\sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41$
Найдем возможные значения для $v_A$: $v_{A1} = \frac{49 + 41}{2} = \frac{90}{2} = 45$
$v_{A2} = \frac{49 - 41}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Проверим оба корня. Если $v_A = 45$ км/ч, то из первого уравнения $v_B = 9 - 45 = -36$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, этот корень не подходит. Если $v_A = 4$ км/ч, то $v_B = 9 - 4 = 5$ км/ч. Обе скорости положительны, это решение является верным.
Ответ: скорость туриста из пункта А — 4 км/ч, скорость туриста из пункта В — 5 км/ч.