Номер 3.43, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.43. 1) Из двух населенных пунктов, длина пути (расстояние) между которыми по реке равна 57 км, навстречу друг другу движутся две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Лодка, идущая по течению, до встречи шла 1 ч, а лодка, идущая против течения, 2 ч. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость каждой лодки.

2) Длина пути (расстояние) по реке между пунктами А и В равна 45 км. Одновременно навстречу друг другу вышли две моторные лодки, собственные скорости которых равны. Через 1,5 ч они встретились. Найдите собственную скорость лодок, если скорость течения реки равна 3 км/ч.

3) Катер на подводных крыльях прошел по течению реки за 2 ч такой же путь (расстояние), какой он проходит за 2 ч 15 мин против течения реки. Скорость течения реки равна 3 км/ч. Найдите собственную скорость катера.

4) По течению реки катер прошел за 7 ч путь такой же длины, какой он проходит за 8 ч против течения. Собственная скорость катера 30 км/ч. Найдите скорость течения реки.

1)

Пусть собственная скорость каждой лодки равна $v_c$ км/ч. Скорость течения реки по условию равна $v_т = 3$ км/ч.

Одна лодка движется по течению, поэтому ее скорость равна сумме собственной скорости и скорости течения: $v_1 = v_c + v_т = v_c + 3$ км/ч. До встречи она шла $t_1 = 1$ ч. За это время она прошла расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_1 = (v_c + 3) \cdot 1$ км.

Вторая лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_2 = v_c - v_т = v_c - 3$ км/ч. До встречи она шла $t_2 = 2$ ч. За это время она прошла расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_2 = (v_c - 3) \cdot 2$ км.

Сумма расстояний, пройденных обеими лодками до встречи, равна общему расстоянию между населенными пунктами, то есть $S = 57$ км. Составим уравнение:
$S_1 + S_2 = 57$
$(v_c + 3) \cdot 1 + (v_c - 3) \cdot 2 = 57$

Решим полученное уравнение:
$v_c + 3 + 2v_c - 6 = 57$
$3v_c - 3 = 57$
$3v_c = 60$
$v_c = 20$

Таким образом, собственная скорость каждой лодки составляет 20 км/ч.

Ответ: собственная скорость каждой лодки 20 км/ч.

2)

Пусть собственная скорость каждой лодки, которая по условию одинакова, равна $v_c$ км/ч. Скорость течения реки составляет $v_т = 3$ км/ч. Лодки вышли одновременно навстречу друг другу, значит, одна двигалась по течению, а другая — против течения.

Скорость лодки, идущей по течению: $v_{по} = v_c + v_т = v_c + 3$ км/ч.
Скорость лодки, идущей против течения: $v_{против} = v_c - v_т = v_c - 3$ км/ч.

Поскольку лодки движутся навстречу друг другу, их скорость сближения равна сумме их скоростей:
$v_{сбл} = v_{по} + v_{против} = (v_c + 3) + (v_c - 3) = 2v_c$ км/ч.

Общее расстояние $S = 45$ км они преодолели за время $t = 1,5$ ч. Используя формулу пути $S = v \cdot t$, составим уравнение:
$45 = v_{сбл} \cdot 1,5$
$45 = 2v_c \cdot 1,5$
$45 = 3v_c$
$v_c = 45 / 3$
$v_c = 15$

Следовательно, собственная скорость лодок равна 15 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодок 15 км/ч.

3)

Пусть собственная скорость катера равна $v_к$ км/ч. Скорость течения реки $v_т = 3$ км/ч.

Скорость катера по течению: $v_{по} = v_к + v_т = v_к + 3$ км/ч. Время в пути по течению $t_{по} = 2$ ч.
Расстояние, пройденное по течению: $S_{по} = v_{по} \cdot t_{по} = (v_к + 3) \cdot 2$.

Скорость катера против течения: $v_{против} = v_к - v_т = v_к - 3$ км/ч. Время в пути против течения $t_{против} = 2$ ч 15 мин. Переведем минуты в часы: $15 \text{ мин} = 15/60 \text{ ч} = 0,25$ ч. Таким образом, $t_{против} = 2 + 0,25 = 2,25$ ч.
Расстояние, пройденное против течения: $S_{против} = v_{против} \cdot t_{против} = (v_к - 3) \cdot 2,25$.

По условию, пройденный путь в обоих направлениях одинаков, т.е. $S_{по} = S_{против}$. Приравняем выражения для расстояний:
$(v_к + 3) \cdot 2 = (v_к - 3) \cdot 2,25$

Решим это уравнение:
$2v_к + 6 = 2,25v_к - 6,75$
$6 + 6,75 = 2,25v_к - 2v_к$
$12,75 = 0,25v_к$
$v_к = 12,75 / 0,25 = 51$

Собственная скорость катера составляет 51 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера 51 км/ч.

4)

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Собственная скорость катера по условию $v_к = 30$ км/ч.

Скорость катера по течению: $v_{по} = v_к + x = 30 + x$ км/ч. Время движения $t_{по} = 7$ ч.
Пройденный путь по течению: $S_{по} = (30 + x) \cdot 7$.

Скорость катера против течения: $v_{против} = v_к - x = 30 - x$ км/ч. Время движения $t_{против} = 8$ ч.
Пройденный путь против течения: $S_{против} = (30 - x) \cdot 8$.

Так как путь по течению и против течения одинаков ($S_{по} = S_{против}$), составим уравнение:
$(30 + x) \cdot 7 = (30 - x) \cdot 8$

Решим уравнение:
$210 + 7x = 240 - 8x$
$7x + 8x = 240 - 210$
$15x = 30$
$x = 30 / 15$
$x = 2$

Скорость течения реки равна 2 км/ч.

Ответ: скорость течения реки 2 км/ч.