Номер 3.38, страница 43, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*3.38. Найдите множество значений параметра p, при котором имеет единственное решение система уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = p, \\ x^2 + y^2 = 2; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x + y = p, \\ x^2 - y = -1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + y = p, \\ 2x + y^2 = 1; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x - y = p, \\ x^2 + y^2 = 4. \end{cases} $

Для нахождения значений параметра $p$, при которых система уравнений имеет единственное решение, мы будем использовать аналитический метод. В каждом случае мы выразим одну переменную через другую из одного уравнения и подставим во второе. Это приведет к квадратному уравнению относительно одной из переменных. Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение будет иметь единственный корень, что равносильно условию равенства нулю его дискриминанта ($D=0$).

Геометрически это означает, что графики уравнений (прямая и окружность/парабола) касаются друг друга, то есть имеют одну общую точку.

1) Дана система:

$\begin{cases}x + y = p, \\x^2 + y^2 = 2;\end{cases}$

Первое уравнение — это семейство прямых, а второе — окружность с центром в начале координат и радиусом $R=\sqrt{2}$.

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = p - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (p - x)^2 = 2$

$x^2 + p^2 - 2px + x^2 = 2$

$2x^2 - 2px + (p^2 - 2) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Оно имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю.

$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (p^2 - 2) = 4p^2 - 8(p^2 - 2) = 4p^2 - 8p^2 + 16 = -4p^2 + 16$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$-4p^2 + 16 = 0$

$4p^2 = 16$

$p^2 = 4$

$p = \pm 2$.

Ответ: $p = -2, p = 2$.

2) Дана система:

$\begin{cases}2x + y = p, \\x^2 - y = -1;\end{cases}$

Первое уравнение — это семейство прямых, а второе — парабола $y = x^2 + 1$ с вершиной в точке $(0, 1)$.

Выразим $y$ из второго уравнения: $y = x^2 + 1$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2x + (x^2 + 1) = p$

$x^2 + 2x + (1 - p) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдём его дискриминант:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 - p) = 4 - 4 + 4p = 4p$.

Приравняем дискриминант к нулю для единственного решения:

$4p = 0$

$p = 0$.

Ответ: $p = 0$.

3) Дана система:

$\begin{cases}x + y = p, \\2x + y^2 = 1;\end{cases}$

Первое уравнение — это семейство прямых, а второе — парабола $x = -\frac{1}{2}y^2 + \frac{1}{2}$ с вершиной в точке $(\frac{1}{2}, 0)$, ветви которой направлены влево.

Выразим $x$ из первого уравнения: $x = p - y$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2(p - y) + y^2 = 1$

$2p - 2y + y^2 = 1$

$y^2 - 2y + (2p - 1) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдём его дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2p - 1) = 4 - 8p + 4 = 8 - 8p$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$8 - 8p = 0$

$8p = 8$

$p = 1$.

Ответ: $p = 1$.

4) Дана система:

$\begin{cases}x - y = p, \\x^2 + y^2 = 4;\end{cases}$

Первое уравнение — это семейство прямых, а второе — окружность с центром в начале координат и радиусом $R=2$.

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = x - p$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2 + (x - p)^2 = 4$

$x^2 + x^2 - 2px + p^2 = 4$

$2x^2 - 2px + (p^2 - 4) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Найдём его дискриминант:

$D = (-2p)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (p^2 - 4) = 4p^2 - 8(p^2 - 4) = 4p^2 - 8p^2 + 32 = -4p^2 + 32$.

Приравняем дискриминант к нулю:

$-4p^2 + 32 = 0$

$4p^2 = 32$

$p^2 = 8$

$p = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.

Ответ: $p = -2\sqrt{2}, p = 2\sqrt{2}$.