Номер 3.42, страница 44, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

3.42. Постройте график функции $y = f(x)$:

1) $f(x) = x^2 - 6x$; 2) $f(x) = -x^2 + 4x$; 3) $f(x) = 2x^2 - 6x + 3$;

4) $f(x) = -x^2 - 6x + 2$ и по графику найдите промежутки ее убывания и возрастания.

1) $f(x) = x^2 - 6x$

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a=1, b=-6, c=0$. Графиком является парабола. Поскольку коэффициент $a=1>0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины: $x_v = -b / (2a) = -(-6) / (2 \cdot 1) = 3$. Ордината вершины: $y_v = f(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$. Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -9)$.

Найдем точки пересечения графика с осями координат. Пересечение с осью Oy (при $x=0$): $y = 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$. Пересечение с осью Ox (при $y=0$): $x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x(x-6)=0$. Корни $x_1=0, x_2=6$. Точки $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

Построим график функции.

Из графика видно, что функция убывает на промежутке, где $x$ изменяется от $-\infty$ до абсциссы вершины $x=3$. Функция возрастает на промежутке, где $x$ изменяется от $3$ до $+\infty$. Промежуток убывания: $(-\infty, 3]$. Промежуток возрастания: $[3, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty, 3]$, возрастает на $[3, +\infty)$.

2) $f(x) = -x^2 + 4x$

Это квадратичная функция с коэффициентами $a=-1, b=4, c=0$. Графиком является парабола. Поскольку $a=-1<0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы: $x_v = -b / (2a) = -4 / (2 \cdot (-1)) = 2$. $y_v = f(2) = -(2)^2 + 4 \cdot 2 = -4 + 8 = 4$. Вершина: $(2, 4)$.

Найдем точки пересечения с осями: С осью Oy ($x=0$): $y = -0^2 + 4 \cdot 0 = 0$. Точка $(0, 0)$. С осью Ox ($y=0$): $-x^2 + 4x = 0 \Rightarrow -x(x-4)=0$. Корни $x_1=0, x_2=4$. Точки $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

Построим график функции.

По графику видно, что функция возрастает до вершины ($x=2$) и убывает после нее. Промежуток возрастания: $(-\infty, 2]$. Промежуток убывания: $[2, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty, 2]$, убывает на $[2, +\infty)$.

3) $f(x) = 2x^2 - 6x + 3$

Это квадратичная функция с $a=2, b=-6, c=3$. Графиком является парабола. Так как $a=2>0$, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины: $x_v = -(-6) / (2 \cdot 2) = 6/4 = 1.5$. $y_v = f(1.5) = 2(1.5)^2 - 6(1.5) + 3 = 2(2.25) - 9 + 3 = 4.5 - 6 = -1.5$. Вершина: $(1.5, -1.5)$.

Найдем точки пересечения с осями: С осью Oy ($x=0$): $y = 3$. Точка $(0, 3)$. С осью Ox ($y=0$): $2x^2 - 6x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 36 - 24 = 12$. Корни $x_{1,2} = (6 \pm \sqrt{12}) / 4 = (6 \pm 2\sqrt{3}) / 4 = (3 \pm \sqrt{3}) / 2$. $x_1 \approx 0.63, x_2 \approx 2.37$. Точки $((3 - \sqrt{3}) / 2, 0)$ и $((3 + \sqrt{3}) / 2, 0)$.

Построим график функции.

По графику видно, что функция убывает до $x=1.5$ и возрастает после. Промежуток убывания: $(-\infty, 1.5]$. Промежуток возрастания: $[1.5, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на $(-\infty, 1.5]$, возрастает на $[1.5, +\infty)$.

4) $f(x) = -x^2 - 6x + 2$

Это квадратичная функция с $a=-1, b=-6, c=2$. Графиком является парабола. Так как $a=-1<0$, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины: $x_v = -(-6) / (2 \cdot (-1)) = 6 / (-2) = -3$. $y_v = f(-3) = -(-3)^2 - 6(-3) + 2 = -9 + 18 + 2 = 11$. Вершина: $(-3, 11)$.

Найдем точки пересечения с осями: С осью Oy ($x=0$): $y = 2$. Точка $(0, 2)$. С осью Ox ($y=0$): $-x^2 - 6x + 2 = 0 \Rightarrow x^2 + 6x - 2 = 0$. $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$. $x_{1,2} = (-6 \pm \sqrt{44}) / 2 = (-6 \pm 2\sqrt{11}) / 2 = -3 \pm \sqrt{11}$. $x_1 \approx -6.32, x_2 \approx 0.32$. Точки $(-3 - \sqrt{11}, 0)$ и $(-3 + \sqrt{11}, 0)$.

Построим график функции.

По графику видно, что функция возрастает до $x=-3$ и убывает после. Промежуток возрастания: $(-\infty, -3]$. Промежуток убывания: $[-3, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на $(-\infty, -3]$, убывает на $[-3, +\infty)$.