Номер 2.5, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.5. Решите графическим способом систему уравнений:

1)

$\begin{cases} xy = 2, \\ x^2 - 2y = -3; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x^2 + 2y = 10, \\ -x + 3y = 1; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} x^2 + 3y = 6, \\ -x^2 - 2y = -7; \end{cases}$

4)

$\begin{cases} y^2 + x^2 = 4, \\ y + x = 0. \end{cases}$

1)

Для решения системы графическим способом построим графики каждого уравнения на одной координатной плоскости.

Первое уравнение $xy = 2$, которое можно записать как $y = \frac{2}{x}$, — это гипербола. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях, а асимптотами служат оси координат.

Второе уравнение $x^2 - 2y = -3$ преобразуем к виду $2y = x^2 + 3$, или $y = \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{2}$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(0; 1,5)$.

На графике видно, что гипербола и парабола пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

2)

Построим графики уравнений системы.

Первое уравнение $2x^2 + 2y = 10$ можно упростить, разделив на 2: $x^2 + y = 5$, откуда $y = -x^2 + 5$. Это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке $(0; 5)$.

Второе уравнение $-x + 3y = 1$ преобразуем к виду $3y = x + 1$, или $y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}$. Это прямая, проходящая, например, через точки $(-1; 0)$ и $(2; 1)$.

Графики пересекаются в двух точках. Из графика видно, что одна точка пересечения имеет координаты $(2; 1)$. Вторую точку можно найти с большей точностью аналитически: $(-\frac{7}{3}; -\frac{4}{9})$.

Ответ: $(2; 1)$, $(-\frac{7}{3}; -\frac{4}{9})$.

3)

Построим графики уравнений системы. Оба уравнения являются параболами.

Первое уравнение $x^2 + 3y = 6$ преобразуется в $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2$. Это парабола с ветвями вниз и вершиной в точке $(0; 2)$.

Второе уравнение $-x^2 - 2y = -7$ преобразуется в $y = -\frac{1}{2}x^2 + 3,5$. Это также парабола с ветвями вниз, но с вершиной в точке $(0; 3,5)$.

Параболы пересекаются в двух точках, симметричных относительно оси OY. Координаты этих точек: $(3; -1)$ и $(-3; -1)$.

Ответ: $(3; -1)$, $(-3; -1)$.

4)

Построим графики уравнений системы.

Первое уравнение $y^2 + x^2 = 4$, или $x^2 + y^2 = 2^2$, — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0; 0)$ и радиусом $r=2$.

Второе уравнение $y + x = 0$, или $y = -x$, — это уравнение прямой, которая является биссектрисой II и IV координатных четвертей.

Окружность и прямая пересекаются в двух точках. Координаты этих точек: $(\sqrt{2}; -\sqrt{2})$ и $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$.

Ответ: $(\sqrt{2}; -\sqrt{2})$, $(-\sqrt{2}; \sqrt{2})$.