Номер 2.4, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

2.4. Докажите, что не имеет решений система уравнений:

1)

$\begin{cases} |x| - y = -2, \\ x - 2y = -1; \end{cases}$

2)

$\begin{cases} 2x^2 - y + 1 = 0, \\ -x^2 - 2y = 4; \end{cases}$

3)

$\begin{cases} 2x^2 + y = -3, \\ 4|x| - 2y = -5. \end{cases}$

1) Рассмoтрим систему уравнений: $ \begin{cases} |x| - y = -2, \\ x - 2y = -1; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$: $x = 2y - 1$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$|2y - 1| - y = -2$
$|2y - 1| = y - 2$.
Левая часть этого уравнения, модуль числа, всегда неотрицательна. Следовательно, и правая часть должна быть неотрицательной:
$y - 2 \ge 0$, что означает $y \ge 2$.
При условии $y \ge 2$ выражение под знаком модуля $2y - 1$ всегда будет положительным, так как $2y - 1 \ge 2(2) - 1 = 3 > 0$.
Значит, мы можем раскрыть модуль: $|2y - 1| = 2y - 1$.
Уравнение принимает вид:
$2y - 1 = y - 2$
$2y - y = -2 + 1$
$y = -1$.
Полученное значение $y = -1$ противоречит ранее установленному условию $y \ge 2$.
Таким образом, система не имеет решений.
Ответ: Доказано, что система не имеет решений.

2) Рассмoтрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 - y + 1 = 0, \\ -x^2 - 2y = 4; \end{cases} $
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим $x^2$:
$-x^2 = 4 + 2y$
$x^2 = -4 - 2y$.
Подставим это выражение для $x^2$ в первое уравнение:
$2(-4 - 2y) - y + 1 = 0$
$-8 - 4y - y + 1 = 0$
$-5y - 7 = 0$
$-5y = 7$
$y = -7/5 = -1.4$.
Теперь подставим найденное значение $y$ обратно в выражение для $x^2$:
$x^2 = -4 - 2(-7/5)$
$x^2 = -4 + 14/5$
$x^2 = -20/5 + 14/5$
$x^2 = -6/5$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Так как $x^2$ не может быть равен $-6/5$, уравнение не имеет действительных решений для $x$.
Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: Доказано, что система не имеет решений.

3) Рассмoтрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 + y = -3, \\ 4|x| - 2y = -5. \end{cases} $
Проанализируем оба уравнения с помощью неравенств.
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = -3 - 2x^2$.
Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $2x^2 \ge 0$, а $-2x^2 \le 0$.
Следовательно, $y = -3 + (-2x^2) \le -3$. Итак, для любого решения системы должно выполняться условие $y \le -3$.
Теперь рассмотрим второе уравнение. Выразим из него $2y$:
$2y = 4|x| + 5$.
Поскольку $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $4|x| \ge 0$.
Следовательно, $2y = 4|x| + 5 \ge 5$, что означает $y \ge 5/2$ или $y \ge 2.5$.
Мы получили два условия для переменной $y$: $y \le -3$ и $y \ge 2.5$.
Эти два условия не могут выполняться одновременно, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше или равно -3 и больше или равно 2.5.
Следовательно, система уравнений не имеет решений.
Ответ: Доказано, что система не имеет решений.