Номер 1.14, страница 26, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.14. Найдите радиус окружности, заданной уравнением:

1) $x^2 + y^2 = 9;$

2) $x^2 + y^2 = 49;$

3) $x^2 + y^2 = 72;$

4) $x^2 + 2x + y^2 = 15.$

Для нахождения радиуса окружности необходимо привести её уравнение к каноническому виду: $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ – координаты центра окружности, а $R$ – её радиус. Если центр окружности находится в начале координат, то есть в точке $(0, 0)$, уравнение принимает вид: $x^2 + y^2 = R^2$.

1) Дано уравнение окружности $x^2 + y^2 = 9$.
Это уравнение уже представлено в каноническом виде для окружности с центром в начале координат.
Сравнивая его с уравнением $x^2 + y^2 = R^2$, получаем, что $R^2 = 9$.
Радиус $R$ равен квадратному корню из этого значения: $R = \sqrt{9} = 3$.
Ответ: 3.

2) Дано уравнение окружности $x^2 + y^2 = 49$.
Это уравнение имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$.
Отсюда $R^2 = 49$.
Находим радиус: $R = \sqrt{49} = 7$.
Ответ: 7.

3) Дано уравнение окружности $x^2 + y^2 = 72$.
Это уравнение имеет вид $x^2 + y^2 = R^2$.
Следовательно, $R^2 = 72$.
Находим радиус: $R = \sqrt{72}$. Упростим корень: $R = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$.
Ответ: $6\sqrt{2}$.

4) Дано уравнение $x^2 + 2x + y^2 = 15$.
Приведем это уравнение к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, выделив полный квадрат для слагаемых, содержащих $x$.
Сгруппируем слагаемые с $x$: $(x^2 + 2x) + y^2 = 15$.
Чтобы получить полный квадрат, добавим к выражению в скобках $(\frac{2}{2})^2 = 1$. Чтобы уравнение осталось верным, мы должны также добавить 1 к правой части:
$(x^2 + 2x + 1) + y^2 = 15 + 1$.
Теперь левую часть можно свернуть по формуле квадрата суммы:
$(x+1)^2 + y^2 = 16$.
Сравнивая полученное уравнение с каноническим видом, видим, что $R^2 = 16$.
Находим радиус: $R = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4.