Номер 1.12, страница 25, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1.12. Решите методом интервалов неравенство:

1) $(x - 2)^2 \cdot (x + 1) \cdot (2x - 5) > 0$;

2) $(3x - 5)^2 \cdot (x - 1)^3 \cdot (2x + 5) < 0$;

3) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 16} \geq 0$;

4) $\frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 9} \leq 0$.

1) $(x - 2)^2 \cdot (x + 1) \cdot (2x - 5) > 0$

Для решения неравенства методом интервалов найдем нули функции $f(x) = (x - 2)^2 \cdot (x + 1) \cdot (2x - 5)$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$(x - 2)^2 = 0 \implies x_1 = 2$ (корень кратности 2, четной кратности)

$x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$ (корень кратности 1, нечетной кратности)

$2x - 5 = 0 \implies x_3 = 2.5$ (корень кратности 1, нечетной кратности)

Отметим найденные точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), все точки будут выколотыми.

Определим знаки на каждом интервале. В крайнем правом интервале (при $x > 2.5$) все множители положительны, значит, знак «+». Далее, двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности ($x=2.5$ и $x=-1$) и не меняем знак при переходе через корень четной кратности ($x=2$).

Выбираем интервалы, где функция положительна, так как знак неравенства $>$.

Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (2.5; +\infty)$

2) $(3x - 5)^2 \cdot (x - 1)^3 \cdot (2x + 5) < 0$

Найдем нули функции $f(x) = (3x - 5)^2 \cdot (x - 1)^3 \cdot (2x + 5)$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

$(3x - 5)^2 = 0 \implies x_1 = 5/3$ (корень кратности 2, четной кратности)

$(x - 1)^3 = 0 \implies x_2 = 1$ (корень кратности 3, нечетной кратности)

$2x + 5 = 0 \implies x_3 = -2.5$ (корень кратности 1, нечетной кратности)

Расположим точки на числовой оси: $-2.5$, $1$, $5/3$. Неравенство строгое ($<$), поэтому все точки выколотые.

Определим знаки на интервалах. При $x > 5/3$ все множители положительны, знак «+». При переходе через $x=5/3$ (четная кратность) знак не меняется. При переходе через $x=1$ (нечетная кратность) знак меняется на «-». При переходе через $x=-2.5$ (нечетная кратность) знак меняется на «+».

Нам нужны интервалы, где функция отрицательна ($< 0$).

Ответ: $x \in (-2.5; 1)$

3) $\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 16} \ge 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$. Нули числителя: $x=2$, $x=3$.

Знаменатель: $x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$. Нули знаменателя: $x=4$, $x=-4$.

Неравенство принимает вид: $\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 4)(x + 4)} \ge 0$.

Отметим точки на числовой оси. Нули числителя ($2$ и $3$) будут закрашенными, так как неравенство нестрогое ($\ge$). Нули знаменателя ($-4$ и $4$) будут выколотыми, так как на ноль делить нельзя.

Все корни имеют кратность 1, поэтому знаки чередуются. В крайнем правом интервале ($x > 4$) знак «+». Выбираем интервалы со знаком «+» и включаем закрашенные точки.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup [2; 3] \cup (4; +\infty)$

4) $\frac{2x^2 - 7x + 6}{x^2 - 9} \le 0$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $2x^2 - 7x + 6 = 0$. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$. Корни $x_{1,2} = \frac{7 \pm 1}{4}$, то есть $x_1 = 1.5$ и $x_2 = 2$. Тогда $2x^2 - 7x + 6 = 2(x - 1.5)(x - 2)$. Нули числителя: $x=1.5$, $x=2$.

Знаменатель: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$. Нули знаменателя: $x=3$, $x=-3$.

Неравенство принимает вид: $\frac{2(x - 1.5)(x - 2)}{(x - 3)(x + 3)} \le 0$.

Отметим точки на числовой оси. Нули числителя ($1.5$ и $2$) будут закрашенными ($\le$). Нули знаменателя ($-3$ и $3$) будут выколотыми.

Все корни имеют кратность 1, знаки чередуются. В крайнем правом интервале знак «+». Выбираем интервалы со знаком «-» и включаем закрашенные точки.

Ответ: $x \in (-3; 1.5] \cup [2; 3)$