Номер 2.3, страница 31, часть 1 - гдз по алгебре 9 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Параграф 2. Система нелинейных уравнений с двумя переменными. Глава I. Уравнения, неравенства с двумя переменными и их системы. Часть 1 - номер 2.3, страница 31.

Условие рус.

2.3. Найдите графическим способом число решений системы:

1) $ \begin{cases} 0,5x - y = 2, \\ x^2 - 2y = -1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 2x^2 + 2y = 5, \\ -x + 3y = 6; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} 2x^2 + 3y = -3, \\ 4x^2 - 2y = -5. \end{cases} $

Условие кз.

Решение.

Решение 2 (rus).

1)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 0,5x - y = 2 \\ x^2 - 2y = -1 \end{cases} $

Чтобы найти число решений графическим способом, необходимо построить графики обеих функций в одной системе координат. Число решений системы будет равно количеству точек пересечения этих графиков.

Сначала преобразуем каждое уравнение, выразив y через x:

1. Первое уравнение: $0,5x - y = 2 \implies y = 0,5x - 2$.
Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Для построения найдем две точки:
При $x = 0$, $y = 0,5 \cdot 0 - 2 = -2$. Точка (0; -2).
При $x = 4$, $y = 0,5 \cdot 4 - 2 = 0$. Точка (4; 0).

2. Второе уравнение: $x^2 - 2y = -1 \implies 2y = x^2 + 1 \implies y = 0,5x^2 + 0,5$.
Это уравнение квадратичной функции, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=0,5$).
Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:
$x_0 = -\frac{0}{2 \cdot 0,5} = 0$.
$y_0 = 0,5 \cdot 0^2 + 0,5 = 0,5$.
Вершина параболы находится в точке (0; 0,5).

Построим графики функций (прямая - красная, парабола - синяя) на одной координатной плоскости:

Из графика видно, что прямая и парабола не пересекаются. Вершина параболы (0; 0,5) находится выше прямой, а ветви параболы направлены вверх, поэтому общих точек у графиков нет.

Ответ: 0.

---

2)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 + 2y = 5 \\ -x + 3y = 6 \end{cases} $

Выразим y через x в каждом уравнении:

1. Первое уравнение: $2x^2 + 2y = 5 \implies 2y = -2x^2 + 5 \implies y = -x^2 + 2,5$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a=-1$).
Вершина параболы: $x_0 = 0$, $y_0 = -0^2 + 2,5 = 2,5$. Точка (0; 2,5).

2. Второе уравнение: $-x + 3y = 6 \implies 3y = x + 6 \implies y = \frac{1}{3}x + 2$.
Это прямая. Для построения найдем две точки:
При $x = 0$, $y = 2$. Точка (0; 2).
При $x = 3$, $y = \frac{1}{3} \cdot 3 + 2 = 3$. Точка (3; 3).

Построим графики функций (парабола - красная, прямая - синяя) на одной координатной плоскости:

На графике видно, что прямая и парабола пересекаются в двух точках (отмечены зеленым). Следовательно, система имеет два решения.

Ответ: 2.

---

3)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} 2x^2 + 3y = -3 \\ 4x^2 - 2y = -5 \end{cases} $

Выразим y через x в каждом уравнении. В этом случае оба графика являются параболами.

1. Первое уравнение: $2x^2 + 3y = -3 \implies 3y = -2x^2 - 3 \implies y = -\frac{2}{3}x^2 - 1$.
Это парабола, ветви которой направлены вниз ($a = -\frac{2}{3}$).
Вершина параболы: $x_0 = 0$, $y_0 = -\frac{2}{3} \cdot 0^2 - 1 = -1$. Точка (0; -1).

2. Второе уравнение: $4x^2 - 2y = -5 \implies 2y = 4x^2 + 5 \implies y = 2x^2 + 2,5$.
Это парабола, ветви которой направлены вверх ($a = 2$).
Вершина параболы: $x_0 = 0$, $y_0 = 2 \cdot 0^2 + 2,5 = 2,5$. Точка (0; 2,5).

Построим графики функций (первая парабола - красная, вторая - синяя) на одной координатной плоскости:

Первая парабола $y = -\frac{2}{3}x^2 - 1$ имеет вершину в точке (0; -1) и ее ветви направлены вниз.
Вторая парабола $y = 2x^2 + 2,5$ имеет вершину в точке (0; 2,5) и ее ветви направлены вверх.
Поскольку первая парабола открывается вниз от своей вершины (0; -1), а вторая — вверх от своей вершины (0; 2,5), они не могут пересечься.

Ответ: 0.